关于合并标准差计算与多组二项分布样本合并后分布参数的技术问询

嗨，我来帮你理清这个问题！首先咱们得先明确一个核心前提：只有当所有子二项分布的成功概率$p_i$完全相同时，把这些独立的二项样本合并后，结果才会严格服从一个新的二项分布。如果$p_i$不全相同，合并后的总和并不服从二项分布，只能做近似推导。下面分两种情况详细说明：

情况1：所有子分布的成功概率一致（$p_1=p_2=…=p_k=p$） #

每个binornd(n_i, p)本质上代表了$n_i$次独立伯努利试验（单次成功概率为$p$）的成功次数。把$k$个这样的独立变量相加，就等价于进行了$n_1+n_2+…+n_k$次独立伯努利试验，因此合并后的分布严格为：
binornd(n₁+n₂+…+n_k, p)
这里的$p_{tot}$就是共同的成功概率$p$。

情况2：子分布的成功概率不全相同（存在$p_i≠p_j$） #

这种情况下，合并后的总和不服从二项分布，但我们可以通过期望匹配的方式推导一个“等效”的$p_{tot}$，用来近似模拟二项分布的特征：

• 先计算合并后总和的期望：
  $E[总和] = n_1p_1 + n_2p_2 + … + n_kp_k$
• 假设我们用一个参数为$N = n_1+n_2+…+n_k$和$p_{tot}$的二项分布来近似这个总和，根据二项分布的期望公式$E = N \times p_{tot}$，可以反推出：
  $p_{tot} = \frac{n_1p_1 + n_2p_2 + … + n_kp_k}{n_1+n_2+…+n_k}$

⚠️ 注意：这个$p_{tot}$只是期望层面的等效值，合并后总和的方差和二项分布binornd(N, p_{tot})的方差并不一致：

• 合并后总和的实际方差：$Var[总和] = \sum_{i=1}^k n_i p_i(1-p_i)$
• 近似二项分布的方差：$Var_{近似} = N \times p_{tot} \times (1-p_{tot})$
  只有当所有$p_i$相等时，这两个方差才会完全相等。

举个实际例子：假设$n_1=10, p_1=0.2$；$n_2=20, p_2=0.3$，那么$N=30$，$p_{tot}=(10×0.2 + 20×0.3)/30 = 8/30 ≈ 0.2667$。合并后总和的实际方差是$10×0.2×0.8 + 20×0.3×0.7 = 1.6 + 4.2 = 5.8$，而近似二项分布的方差是$30×0.2667×0.7333 ≈ 5.733$，两者接近但存在差异，这也验证了近似的性质。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mohadeseh azari