二元实解析函数极坐标形式下的导数非零阶数与下界限定问题

咱们来看这么一个实分析方向的问题：

设 $A \subseteq \mathbb{R}^2$ 是二维欧氏空间中的有限连通子集，并且原点 $(0,0)$ 属于 $A$。定义函数 $f:A \to \mathbb{R}_{\geq 0}$，它是一个实解析函数，而且满足一个关键条件：$f$ 在 $A$ 里只有一个零点，就是原点 $(0,0)$。

接下来我们把这个函数转化为极坐标形式：
$$\tilde{f}(r,\theta) = f(r \cos(\theta), r \sin(\theta))$$

对每个固定的角度 $\theta \in [0,2\pi)$，我们定义 $n_\theta$ 为满足 $\tilde{f}^{(n_{\theta})}(0,\theta) \ne 0$ 的最小非负整数——简单说就是，固定角度 $\theta$ 时，把 $\tilde{f}$ 看成关于 $r$ 的函数，在 $r=0$ 处的各阶导数里，第一个不为零的导数对应的阶数就是 $n_\theta$。

另外题目里还提到一个假设：对所有 $\theta$，$n_\theta \leq M$（原问题此处后续内容未完整给出，不过我们先把已明确的设定梳理清楚）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Doofenshmert