证明球面上某微分形式积分与体积形式选择无关的问题

咱们先把问题的前提和目标明确下来：
设 $n \geq 2$，$f: S^{2n-1} \rightarrow S^{n}$ 是光滑映射。取 $S^n$ 上的体积形式 $\omega$，满足 $\int_{S^n}\omega = 1$。

已知存在 $(n-1)$-形式 $\beta \in \Lambda^{n-1}(S{2n-1})$，使得：

$d\beta = f^{}\omega$（其中 $f^$ 是沿映射 $f$ 的拉回算子）

现在要证明的是：积分表达式
$$\int_{S^{2n-1}}\beta \wedge d\beta$$
与 $\omega$ 的具体选择无关。

我目前的思路进展： #

由于积分映射 $\int_{S^n}\cdot$ 是上同调群 $H^n(Sn)$ 上的同构，我们可以推出如果...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jahi02