关于卷积积分$f * |·|^{-α}(x)$在$|x|>1$和$|x|<1$时的行为分析求助

大家好，我最近在研究卷积积分的行为，遇到了一些困惑，想请各位帮忙解答一下。

设$f = \chi_{B(0,1)}$（也就是单位球的特征函数），我要分析的卷积是：
$$f * |\cdot|^{-\alpha}(x) = \int_{B(0,1)}\frac{1}{|x-y|^{\alpha}}dy,$$
需要分别搞清楚$|x| > 1$和$|x| < 1$这两种情况下这个积分的表现。

我先在一维$\mathbb{R}$的情况里做了尝试：当$x \in (-1,1)$时，我把积分拆成了两部分计算：
$$\int_{-1}^{1\frac{1}{|x-y|}\lambda}dy = \int_{-1}^{x\frac{1}{(x-y)}\lambda}dy + \int_x^{1\frac{1}{(y-x)}\lambda}dy = \frac{(1-x)^{{1-\lambda}}{1-\lambda}+\frac{(x+1)}{1-\lambda}}{1-\lambda} \leq \frac{C}{1-\lambda},$$
这里$C$是一个有限常数。但我发现这里有个明显的问题：当$\lambda \rightarrow 0$时，按照这个表达式结果会趋近于$C$，可实际上当$\lambda=0$时，积分就是单位区间的长度2，这说明我的推导肯定哪里出错了。

另外，对于高维空间$\mathbb{R}^n$的情况，还有$|x|>1$时的积分行为，我也完全没思路，希望有大佬能帮忙梳理清楚这几种情况的积分结果和渐近行为，谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user57