关于将复数$z$=$1 - \cos(x) + i \sin(x)$转化为极坐标形式的求解疑问

Hey there! 看起来你在把复数$z=1 - \cos(x) + i \sin(x)$转化为极坐标形式时，卡在了$\theta = \arctan\left(\cot\left(\frac{x}{2}\right)\right)$这一步，别担心，我们一步步拆解这个式子，把它化简清楚~

首先回忆一个超实用的三角函数恒等式：$\cot(\alpha) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$。把$\alpha = \frac{x}{2}$代入进去的话，$\cot\left(\frac{x}{2}\right)$就可以写成$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right)$。

那你的辐角式子就变成了：
$$\theta = \arctan\left(\tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right)\right)$$

接下来要注意$\arctan(\tan(y))$的特性：当$y$落在$\arctan$的主值区间$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$里时，$\arctan(\tan(y)) = y$。只要$\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$在这个区间内（对应原复数的辐角取主值，通常范围是$(-\pi, \pi]$），那就能直接把式子化简成$\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$。

当然，我们也可以换个思路从原复数出发，用二倍角公式重新计算，避免绕到cot的环节：

• 实部$1 - \cos(x)$可以用二倍角公式转化为$2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$
• 虚部$\sin(x)$则是$2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$

那计算$\tan\theta = \frac{\text{虚部}}{\text{实部}}$时，分子分母的2和$\sin\left(\frac{x}{2}\right)$（假设不为0）可以约掉，结果就是$\frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} = \cot\left(\frac{x}{2}\right)$，和你之前得到的结果一致，但这样我们能更直观地联系到$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right)$，进而快速得到辐角的化简结果。

顺带提一下复数的模长，用二倍角公式也能快速算出：
$$|z| = \sqrt{(1 - \cos(x))^2 + \sin^2(x)} = \sqrt{1 - 2\cos(x) + \cos^2x + \sin^2x} = \sqrt{2 - 2\cos(x)} = 2\left|\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right|$$

这样结合化简后的辐角，你就能得到复数$z$的完整极坐标形式啦~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Oofy2000