关于秩为m的m×n矩阵M满足MMᵀ=αIₘₓₘ的两类问题求证/证伪及推导疑问

嘿各位大佬，我最近碰到这么个线性代数问题，卡壳了想请大家帮忙梳理下思路：

设$M$是一个秩为$m$的$m\times n$矩阵（满足$m<n$），若存在非零实数$\alpha$，使得对所有$x\in\Bbb R^m$都有$xtMM^t x=\alpha x^{tx$，求证或证伪$MM}t=\alpha I_{m\times m}$。

我自己尝试推了一部分，但卡在非对角元的处理上了，我的推导步骤如下：
设$MM^t=[a_{ij}]{m\times m}$，取$\mathbb{R}^m$中的标准单位向量$e_i$（即第$i$位为1，其余位置全为0的向量），将其代入题目给出的等式可得：
$$e_i^tMMte_i=a{ii}=\alpha$$
到这一步我已经证明了$MM^t$的所有对角元素都是$\alpha$，但不知道该怎么处理$i\neq j$时的非对角元素$a_{ij}$，有没有大佬能帮我补全后续的证明，或者告诉我这个结论是否不成立呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sandeep Tiwari