请求解释论文《On the difficulty of training Recurrent Neural Networks》中的即时偏导数∂⁺xₖ/∂θ

哈喽，我来给你掰扯清楚这个「即时偏导数」到底啥意思～

首先先回顾下论文里的RNN状态更新公式：
$$
x_t=F(x_{t-1},u_t,\theta) \
x_t=W_{rec}\sigma(x_{t-1})+W_{in}u_t+b
$$
这里的$\theta$就是所有可训练参数的集合：$\theta = {W_{rec}, W_{in}, b}$。你提到的误差对参数的导数公式是：
$$
\frac{\partial\varepsilon_t}{\partial\theta}=\sum\left(\frac{\partial\varepsilon_t}{\partial x_t}\frac{\partial x_t}{\partial x_k}\frac{\partial^{+}x_k}{\partial\theta}\right)
$$

重点说$\frac{\partial^{+}x_k}{\partial\theta}$——论文里说这是「状态$x_k$对$\theta$的即时偏导数」，核心就是：计算的时候把$x_{k-1}$当成完全固定的常量，完全忽略它对$\theta$的递归依赖，只算$\theta$在当前步骤直接影响$x_k$的那部分导数。

给你举几个具体的例子，对应$\theta$里的不同参数：

• 针对循环权重$W_{rec}$的即时偏导数：
  看$x_k$的表达式，$W_{rec}$直接乘了$\sigma(x_{k-1})$，当我们把$\sigma(x_{k-1})$当成固定值时，$\frac{\partial^{+}x_k}{\partial W_{rec}}$就是$\sigma(x_{k-1})$（如果是向量/矩阵形式，就是$\sigma(x_{k-1})$的外积，核心逻辑就是只取当前步骤的直接项）。

• 针对输入权重$W_{in}$的即时偏导数：
  $W_{in}$直接乘了输入$u_k$，输入是外部给定的，本身不依赖$\theta$，把它当成固定值后，$\frac{\partial^{+}x_k}{\partial W_{in}}$就是$u_k$。

• 针对偏置$b$的即时偏导数：
  $b$是直接加到$x_k$里的常数项，所以即时偏导数就是全1的向量（标量情况就是1）——因为$b$每增加1，$x_k$的每个维度就直接增加1。

这里要和「非即时的递归导数」区分开：比如如果我们算$\frac{\partial x_k}{\partial W_{rec}}$，那就要考虑$x_{k-1}$本身也依赖$W_{rec}$（毕竟$x_{k-1}=W_{rec}\sigma(x_{k-2})+...$），所以这个导数会包含递归的链式项，而即时导数就是把这部分递归依赖完全砍掉，只算当前步骤的直接贡献。

论文里的原话也印证了这一点：

refers to the “immediate” partial derivative of the state xk with respect to θ

说白了就是“只看当前步骤θ直接作用在$x_k$上的部分，别管之前的状态是怎么依赖θ的”。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者greedsin