离散随机变量Y的生成函数公式推导证明问询

嗨，我最近碰到这么一个概率推导问题，想请大家帮忙看看我的思路有没有问题，或者该怎么继续往下推进。先把问题的已知条件和要证明的结论说清楚：

已知条件：设$X$和$Y$是两个取值于$\mathbb{N}_0$的离散随机变量，满足对所有$k \in \mathbb{N}$，有$P(Y = k) = \frac{P(X > k)}{E[X]}$。

要证明的结论：随机变量$Y$的生成函数$g_Y$满足如下公式：
$$g_Y(z) = \frac{1}{E[X]} \frac{1 - g_X(z)}{1 - z}, \quad z \in \mathbb{C}$$

我的推导尝试：
我从生成函数的定义入手，先写出$g_Y(z)$的表达式：
$$g_Y(z) = E(z^Y) = \sum_{k=0}^{\infty} z^k P(Y=k) = \sum_{k=0}^{\infty} z^k \frac{P(X > k)}{E(X)} = \frac{1}{E(X)} \sum_{k=0}^{\infty} z^k P(X > k)$$

现在我打算用互补概率来改写这个求和式，但卡在这儿了，想请教下接下来该怎么处理才能推导出目标公式呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者clementine1001