求方程y³+26xy=27的实根相关积分∫₀¹f²(x)ln(f(x))dx的值的技术求助

对于$x\ge0$，设$f(x)$是方程$$y^{3+26xy=27$$的实根，求积分$$\int_0}1 f^2(x) \ln(f(x)) dx$$的值。

我一看到这类问题，第一反应就是想用Lisant公式，但感觉这里好像没法直接套用。

我也试过用分部积分法来做，但折腾了半天也没找到突破口。

后来我发现可以把原方程因式分解成$26xy=(3-y)(y^2+3y+9)$，不过我不确定这个变形对解题有没有实际帮助。

真心求各位大佬给点思路或者解法，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Blue Cat Blues