关于随机变量条件期望E[X|Y]的计算疑问

嗨，你这里犯了一个关键的小错误哦！$E[X|Y]$不是两个条件期望的和，它本身是一个依赖于Y取值的随机变量，正确的表达方式应该是分段函数，而不是把两个结果直接相加。

咱们一步步理清楚：

• 首先你对两个具体条件下的期望计算是完全正确的：

  • 当$Y=0$时（对应X取1或2），$E[X|Y=0] = \frac{1+2}{2} = \frac{3}{2}$；
  • 当$Y=1$时（对应X取3、4、5、6），$E[X|Y=1] = \frac{3+4+5+6}{4} = \frac{9}{2}$。

• 但$E[X|Y]$的本质是一个随机变量：它的取值由Y的结果决定。当Y为0时，它就等于$\frac{3}{2}$；当Y为1时，它就等于$\frac{9}{2}$。所以正确的写法应该是分段函数形式：
  $$E[X|Y] = \begin{cases}
  \frac{3}{2}, & \text{当 } Y=0 \
  \frac{9}{2}, & \text{当 } Y=1
  \end{cases}$$

如果是想计算条件期望的期望（也就是全期望公式中的$E[E[X|Y]]$），那才需要结合Y的概率来加权求和：
$P(Y=0) \times \frac{3}{2} + P(Y=1) \times \frac{9}{2} = \frac{2}{6} \times \frac{3}{2} + \frac{4}{6} \times \frac{9}{2} = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2}$，这个结果刚好等于X的期望（均匀6面骰子的期望是$\frac{21}{6} = \frac{7}{2}$），也验证了全期望公式的正确性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1228141