射影代数簇除子的次数相关技术问询

各位好，我最近在研究任意交换域$k$（不一定是代数闭域）上代数簇的除子次数定义，碰到了一些问题想请教大家。因为次数是线性映射，所以我打算先把注意力放在余维1点的次数问题上。

问题1：代数闭域上的射影空间场景 #

先从最基础的情况说起：$X=\mathbb{P}_k^n$。当$k$是代数闭域时，子簇$Y\subset X$的次数在Hartshorne的第一章第7节有明确定义。而且如果$Y$的余维是1的话，由于UFD中的高1素理想都是主理想，$Y$可以表示为$V((P))$——这里$P$是多项式环$k[T_0,...,T_n]$中的某个齐次不可约多项式。我现在的疑问是：我们是否有……（注：原提问此处内容未完整给出）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Flöven