关于绝对值函数|x|的不定积分求解正确性的技术问询

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我大概三个月前在YouTube首页刷到Blackpenredpen的一则视频，他在视频里展示了自己尝试不用分段积分的方法求解 $\int\sqrt{\sin^2(x)}dx=\int|\sin(x)|dx=-\cot(x)|\sin(x)|+c$ 时的多次失败尝试。

这两个月来我自己也试着用分部积分或者换元法来推导这个积分，但都没能成功。我觉得问题的根源在于我其实没搞懂怎么计算最基础的 $\int|x|dx$——我总觉得如果能把这个绝对值积分的逻辑搞清楚，应该就能解决像 $\int|\sin(...)$ 这类更复杂的绝对值函数积分问题了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CrSb0001