关于积分递推公式$I_n=\int_0^a \frac{1}{(a^2+x^2)^n} dx$的第二部分证明求助

嗨，我已经顺利解决了第一部分的证明，但在第二部分的递推公式推导上卡了一会儿，现在终于理清思路了！先把我完成的第一部分过程分享出来，再详细讲第二部分的推导步骤：

(i) 证明$\int_0^a \frac{x^2}{(a2+x²⁾{n+1}} dx=I_n-a^2I_{n+1}$ #

我用三角代换的方法来推导：
考虑积分$\int_0^a \frac{x^2}{(a2+x²⁾{n+1}} dx$，令$x=a\tan\theta$，则$dx=a\sec^2\theta d\theta$。
利用三角恒等式可得：
$$a^2+x2=a^2+a2\tan^2\theta=a2(1+\tan^2\theta)=a2\sec^2\theta$$

当$x=0$时，$\theta=0$；当$x=a$时，$\theta=\arctan1=\frac{\pi}{4}$，代入后积分变为：
$$
\begin{align*}
\int_0^a \frac{x^2}{(a2+x²⁾{n+1}} dx&=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{a^2\tan2\theta}{(a^2\sec2\theta)^{n+1}} \cdot a\sec^2\theta d\theta\
&=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{a^3\sec2\theta(\sec^{2\theta-1)}{a}{2n+2}\sec^{2n+2}\theta} d\theta\
&=\frac{1}{a^{2n-1}} \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\sec^{-2n}\theta - \sec^{-2n-2}\theta) d\theta
\end{align*}
$$

再看$I_n$和$a^2I_{n+1}$的代换结果：
$$
I_n=\int_0^a \frac{1}{(a^2+x2)^n} dx=\frac{1}{a^{2n-1}} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^{-2n+2}\theta d\theta
$$
$$
a^2I_{n+1}=a2\int_0^a \frac{1}{(a^2+x2)^{n+1}} dx=\frac{1}{a^{2n-1}} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^{-2n}\theta d\theta
$$

两者相减可得：
$$
I_n - a^{2I_{n+1}=\frac{1}{a}{2n-1}} \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\sec^{-2n+2}\theta - \sec^{-2n}\theta) d\theta
$$
而$\sec^{-2n+2}\theta - \sec^{{-2n}\theta=\sec}{-2n}\theta(\sec^{2\theta-1)=\sec}{-2n}\theta\tan^2\theta$，和代换后的积分结果完全一致，因此第一部分得证。

(ii) 证明$2na^{2I_{n+1}=(2n-1)I_n+(2}na^{2n-1}){-1}$ #

这部分我用分部积分法结合第一部分的结论来推导：

对$I_n=\int_0^a \frac{1}{(a^2+x2)^n} dx$进行分部积分，设：
$$u = \frac{1}{(a^2+x2)^n}, \quad dv = dx$$
则：
$$du = \frac{d}{dx}\left( (a^2+x2)^{-n} \right) dx = \frac{-2nx}{(a^2+x2)^{n+1}} dx, \quad v = x$$

根据分部积分公式$\int u dv = uv|_0^a - \int v du$，代入可得：
$$
I_n = \left. \frac{x}{(a^2+x2)^n} \right|_0^a - \int_0^a x \cdot \frac{-2nx}{(a^2+x2)^{n+1}} dx
$$

先计算边界项：
$$
\left. \frac{x}{(a^2+x2)^n} \right|_0^a = \frac{a}{(a^2+a2)^n} - 0 = \frac{a}{2^n a^{2n}} = \frac{1}{2^n a^{2n-1}} = (2^n a^{2n-1}){-1}
$$

再把第一部分已证的$\int_0^a \frac{x^2}{(a2+x²⁾{n+1}} dx = I_n - a^2 I_{n+1}$代入式子：
$$
I_n = (2^n a^{2n-1}){-1} + 2n(I_n - a^2 I_{n+1})
$$

接下来展开并整理等式：
$$
I_n = (2^n a^{2n-1}){-1} + 2nI_n - 2n a^2 I_{n+1}
$$
将含$I_n$的项移到左边：
$$
I_n - 2nI_n = (2^n a^{2n-1}){-1} - 2n a^2 I_{n+1}
$$
$$
-(2n-1)I_n = (2^n a^{2n-1}){-1} - 2n a^2 I_{n+1}
$$
两边同时乘以-1并移项：
$$
2n a^2 I_{n+1} = (2n-1)I_n + (2^n a^{2n-1}){-1}
$$

这样就完成了第二部分的证明！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jaden