单位圆盘与复平面间全纯映射存在性的疑问咨询

我最近碰到一个复分析的问题，想请大家帮忙解答一下：

先定义两个区域：

• $\Omega_1 = { z \in \mathbb{C} : |z| < 1 }$（单位开圆盘）
• $\Omega_2 = \mathbb{C}$（整个复平面）

请问以下四个命题哪些是真命题？

1. 存在全纯满射 $f:\Omega_1\to\Omega_2$
2. 存在全纯满射 $f:\Omega_2\to\Omega_1$
3. 存在全纯单射 $f:\Omega_1\to\Omega_2$
4. 存在全纯单射 $f:\Omega_2\to\Omega_1$

我自己已经理清了部分结论：

• 命题2和4是不成立的，用刘维尔定理就能推导出来：如果存在从复平面到单位圆盘的全纯映射，那这个映射必然是有界的，根据刘维尔定理，它只能是常数函数，既不可能是满射，也不可能是单射（常数函数显然不满足单射的要求）。
• 命题3是成立的，比如取映射 $f(z) = z$，这就是一个从单位圆盘到复平面的全纯单射，非常直观。

但我现在卡在命题1上了：我尝试用各种复分析定理去证明它不成立，但都没成功，也想不出有没有这样的全纯满射例子。有没有大佬能帮我解惑呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ristatle