调和级数求和问题：如何证明∑ₙ=1^∞1/[(4n-1)(4n-2)(4n-3)] = ln2/4？

我最近碰到了这么个级数求和的难题，要证明：
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(4n-1\right)\left(4n-2\right)\left(4n-3\right)} =\frac{\ln\left(2\right)}{4}$$

首先我先尝试了部分分式分解，这一步还算顺利，把通项拆成了：
$$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2\left(4n-1\right)}-\frac{1}{4n-2}+\frac{1}{2\left(4n-3\right)}$$

一开始我以为这是个望远镜级数，就写出了前几项来验证：
$$\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{14}-\frac{1}{6}+\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{22}-\frac{1}{10}+\frac{1}{18}\right)+\left(\frac{1}{30}-\frac{1}{14}+\frac{1}{26}\right)+\left(\frac{1}{38}-\frac{1}{18}+\frac{1}{34}\right)\cdots$$

但看下来发现根本不是望远镜级数，各项没法对称抵消，这一下就卡壳了，完全不知道该怎么继续。后来我去查了相关讨论，发现有不少解法，但大多用到了积分或者一些特殊级数的知识...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者dev