无需验证器证明问题属NP的方法及多项式归约定理的NP适配性问询

好问题！这两个点都是复杂度理论里非常实用的知识点，我来一步步给你拆解清楚：

当然有！除了最经典的“构造多项式时间验证器”，还有几种更高效的思路：

• 利用非确定性图灵机（NDTM）的等价定义
  NP的核心定义之一就是「可被非确定性图灵机在多项式时间内判定的问题类」。如果你能描述一个NDTM，它可以在多项式时间内“猜”出解的候选，再在多项式时间内验证这个候选是否有效，那这个问题就属于NP。比如对于最短路径问题的判定版本（“是否存在长度≤k的路径从s到t”），NDTM可以直接猜每一步的节点选择，最后验证路径长度是否符合要求——这个思路虽然和验证器有相通之处，但从计算模型角度出发，有时候描述起来会更直观。

• 利用NP的闭包性质
  NP类在很多多项式时间运算下是封闭的，活用这些性质能省去很多重复构造验证器的麻烦：

  • 多项式归约传递：如果问题A能多项式归约到一个已知属于NP的问题B，那A必然也属于NP（这刚好对应你第二个问题的结论）。
  • 复合运算封闭：如果两个问题X、Y都属于NP，那么“X或Y”“X且Y”这类复合问题也属于NP。比如“给定图G，判断G是否存在长度为k的路径或者存在大小为k的团”，直接就能通过NP的闭包性得出它属于NP，不用单独设计验证逻辑。
  • 多项式投影封闭：如果问题Y属于NP，且问题A是Y的多项式时间可计算投影（比如A的解对应Y的解的一部分），那A也属于NP。

答案是完全适用，而且这是证明问题属于NP的常用“偷懒技巧”，能帮你省去大量构造验证器的繁琐工作。

具体来说，原定理的推广版本是：

如果问题A可以多项式时间归约到问题B，且B∈NP，那么A∈NP

为什么成立？我们可以从验证器的角度简单推导：

1. 因为B∈NP，所以存在多项式时间验证器V_B：对于B的实例y，存在证书c使得V_B(y,c)输出“是”当且仅当y是B的“是”实例。
2. 而A多项式归约到B，意味着存在多项式时间函数f，x是A的“是”实例当且仅当f(x)是B的“是”实例。
3. 那我们可以直接构造A的验证器V_A：对于A的实例x和证书c，先计算y=f(x)，再运行V_B(y,c)——如果V_B输出“是”，V_A就输出“是”，否则输出“否”。

整个过程的时间复杂度是多项式级别的（f是多项式时间，V_B也是多项式时间），所以V_A是合法的多项式时间验证器，因此A∈NP。

举个实际例子：如果你想证明“给定图G，判断G是否存在长度为k的简单路径”属于NP，不用从头写验证逻辑，只要把它归约到已知的NP问题（比如哈密顿路径问题），利用这个闭包性质就能直接得出结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者matija