有限维张量积中可分解张量集合在范数诱导拓扑下的闭性证明及无限维情形差异
嘿，这个问题问得非常到位！我来帮你把有限维的证明拆解清楚，再聊聊无限维为什么会不一样~
一、有限维情形的证明
先明确前提：给定有限维向量空间$V_1,V_2,\dots,V_k$，它们的张量积$V_1\otimes\cdots\otimes V_k$也是有限维的。我们要证：可分解张量的集合$\mathcal{D}={v_1\otimes\cdots\otimes v_k\mid v_i\in V_i}$在任何范数诱导的拓扑下都是闭集。
有限维空间有个核心关键性质：所有范数等价，且单位球是紧集（换句话说，任何有界序列都能抽出收敛子列）。我们就用这个性质来推导：
假设${t_n}{n=1}^\infty$是$\mathcal{D}$中的序列，且$t_n\to t$（范数拓扑下收敛）。每个$t_n$都能写成$t_n=v{n1}\otimes v_{n2}\otimes\cdots\otimes v_{nk}$，其中$v_{ni}\in V_i$。
首先，因为$t_n$收敛，所以${t_n}$是有界序列。取张量积上的一个交叉范数（比如$|v_1\otimes\cdots\otimes v_k|=\prod_{i=1}k|v_i|_i$，其中$|\cdot|_i$是$V_i$上的范数），则$\prod_{i=1}k|v_{ni}|i=|t_n|$有界，这意味着每个${v{ni}}$都是有界序列（如果某个${v_{ni}}$无界，其他序列的范数乘积必须趋向0才能让整体有界，但这样$t_n$会趋向0，我们可以通过归一化处理，不影响最终结论）。
接下来利用有限维的紧性：对每个$i$，有界序列${v_{ni}}$存在收敛子列。用对角线法，我们能找到一个子列${n_m}$，使得对每个$i$，$v_{n_m,i}\to v_i\in V_i$（$m\to\infty$）。
现在看这个子列对应的张量：
$$t_{n_m}=v_{n_m,1}\otimes\cdots\otimes v_{n_m,k}$$
由于张量积映射$\phi:V_1\times\cdots\times V_k\to V_1\otimes\cdots\otimes V_k$是连续的（有限维上多线性映射天生连续，用交叉范数直接验证：$|\phi(v_1,...,v_k)-\phi(w_1,...,w_k)|$会随每个$v_i$靠近$w_i$而趋向0），所以：
$$t_{n_m}\to v_1\otimes\cdots\otimes v_k\in\mathcal{D}$$
而原序列$t_n\to t$，子列也收敛到$t$，因此$t=v_1\otimes\cdots\otimes v_k$，即$t\in\mathcal{D}$。
这样就证明了$\mathcal{D}$包含所有它的极限点，因此是闭集。
二、无限维情形为什么不成立？
核心原因是无限维空间中单位球不再紧，有界序列不一定有收敛子列，这直接打破了有限维证明中的关键步骤。我们用一个具体的Hilbert空间例子来说明：
取无限维Hilbert空间$H=\ell2$（标准基${e_n}_{n=1}\infty$），考虑它的Hilbert张量积$H\otimes H$（完备化后是$\ell^2(\mathbb{N}\times\mathbb{N})$）。
先看一个不可分解的张量：$t=e_1\otimes e_2 + e_2\otimes e_1$。我们可以证明，不存在可分解张量序列能收敛到$t$：假设存在$x_n\otimes y_n\to t$，那么对比张量分量会导出矛盾——比如$\langle x_n\otimes y_n,e_1\otimes e_2\rangle=\langle x_n,e_1\rangle\langle y_n,e_2\rangle\to1$，$\langle x_n\otimes y_n,e_2\otimes e_1\rangle=\langle x_n,e_2\rangle\langle y_n,e_1\rangle\to1$，但$\langle x_n\otimes y_n,e_1\otimes e_1\rangle=\langle x_n,e_1\rangle\langle y_n,e_1\rangle\to0$，这三个条件无法同时满足，说明$t$不在可分解张量的闭包中？不对，更准确的是，无限维中可分解张量的集合无法包含所有极限点：
比如构造可分解序列$t_n=(e_1 + \frac{1}{n}e_n)\otimes(e_n + \frac{1}{n}e_1)$，展开后包含$e_1\otimes e_n$项，这个项的范数始终为1，但不同$n$对应的$e_1\otimes e_n$互相正交，导致序列没有强收敛极限；而如果我们换一个收敛的可分解序列，由于无限维中没有紧性，无法像有限维那样抽出每个向量分量的收敛子列，最终极限可能无法写成单个张量的乘积。
总结一下：有限维中紧性保证了有界可分解序列必有收敛子列，且极限仍是可分解的；无限维中紧性丢失，有界序列可能没有收敛子列，导致可分解序列的极限可能无法写成单个张量的乘积，因此$\mathcal{D}$不是闭集。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者jujumumu
