多项分布随机变量的最大公约数大于1的概率

咱们来聊聊多项分布随机变量的最大公约数大于1的概率问题，先从一个具体的选举场景入手：有$k$名候选人参与竞选，用$N_i$表示第$i$名候选人获得的票数，这组$N_i$服从多项分布。

我们该如何合理估算「每名候选人的得票数都是正整数$a$的倍数」的概率呢？也就是满足$N_{i}/a\in\mathbb N,, i = 1,\ldots,k$的概率——而这其实等价于这组得票数的最大公约数是$a$的倍数，当我们遍历所有大于1的$a$时，就能对应到最大公约数大于1的情况。

• 有一种朴素的近似思路，给出的估算结果是$\left(1/a\right )^k$。这个方法的逻辑很直接：单独看每个$N_i$，它是$a$的倍数的概率近似为$1/a$，同时默认“第$i$名候选人得票数是$a$的倍数”这些事件之间几乎是相互独立的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Amir