不带选择公理的截断塔尔斯基定理：基数为ℵₙ的集合A与A²等价性的归纳证明问询

嘿，很高兴看到你在深挖集合论里的这个经典问题！我们都知道“任意无限集A都满足A与A²等价”和选择公理是等价的，但你提出把范围缩小到基数为$\aleph_n$（$n \in \mathbb{N}\cup\lbrace 0 \rbrace$）的集合，想用数学归纳法来证明这个结论，这个方向特别有意思。

我把你提到的归纳证明框架整理如下：

1. 基础情形（$n=0$）：
   当$n=0$时，集合A的基数是$\aleph_0$（即可数集），这时候A与A²等价是显然成立的——我们完全可以套用证明$\mathbb{Q}$（有理数集）可数的那套经典方法来构造双射，全程不需要用到选择公理。

2. 归纳假设与递推（假设对$n$成立，推导$n+1$成立）：
   假设对于某个$n \in \mathbb{N}$，所有基数为$\aleph_n$的集合都满足A与A²等价。现在我们考虑一个基数为$\aleph_{n+1}$的集合A，那么...（原文此处未完成）

顺便提一句：这个归纳思路是完全站得住脚的，因为$\aleph_n$这类基数本身是良序化的基数，不需要依赖选择公理的全局良序性，就能在归纳过程中利用良序的性质构造出所需的双射，这也是为什么这个“截断版”的结论不需要选择公理就能成立~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nyekitka