紧凸集内子集的δ邻域Lebesgue测度的最紧上界求解

嘿，这个问题问得很精准——本质上是在探究：如果紧凸集里的一个子集测度占比很小，那它的δ邻域在原集里的测度占比能不能被严格控制住？咱们一步步拆解，从极端情况到通用结论来梳理。

首先先明确问题的核心条件：

• 用$\lambda$表示Lebesgue测度
• $E \subseteq \mathbb{R}^2$是紧凸集，且测度有限（$\lambda(E) < \infty$）
• 子集$A \subseteq E$满足$\lambda(A) < \epsilon\lambda(E)$（$\epsilon > 0$是给定的小正数）
• 定义$B := \{x \in E : d(x,A) \leq \delta\}$，其中$d(x,A) = \inf\limits_{y \in A} d(x,y)$是欧氏距离下点到集合的距离

核心思路：找最坏情况的上界 #

要找最紧的上界，我们需要构造出能让$\lambda(B)$最大的$A$——也就是让$A$的δ邻域尽可能覆盖更多的$E$，同时$A$的测度满足$\lambda(A) < \epsilon\lambda(E)$。这里的关键是利用凸集的内平行体性质：

定义$E_{\delta}$为$E$的δ内平行体，即$E_{\delta} = \{x \in E : d(x,\partial E) \geq \delta\}$——简单说就是$E$向内部收缩δ后得到的凸集。而$E \setminus E_{\delta}$就是$E$中距离边界≤δ的区域，它的测度可以用凸集的平行体公式计算：
$$\lambda(E) - \lambda(E_{\delta}) = \text{per}(E)\delta - \pi\delta^2$$
其中$\text{per}(E)$是$E$的周长。

分两种情况讨论最紧上界 #

情况1：$\epsilon\lambda(E) \geq \lambda(E) - \lambda(E_{\delta})$

此时$A$的测度足够大，甚至能包含整个$E \setminus E_{\delta}$，再加上$E_{\delta}$中的一部分点。这时候$B$可以覆盖整个$E$——因为$E_{\delta}$中的点距离$E \setminus E_{\delta}$的距离恰好是δ，而$A$包含$E \setminus E_{\delta}$，所以$E_{\delta}$中的点距离$A$≤δ；再加上$A$在$E_{\delta}$中的部分，其δ邻域也会覆盖周围的点。最终$\lambda(B) = \lambda(E)$，这就是这种情况下的上界。

情况2：$\epsilon\lambda(E) < \lambda(E) - \lambda(E_{\delta})$

此时$A$的测度不足以覆盖整个$E \setminus E_{\delta}$，最坏情况是我们取$A$为$E \setminus E_{\delta}$的一个子集，测度恰好为$\epsilon\lambda(E)$。这时候$E_{\delta}$中的所有点距离$A$的距离都大于δ（因为$E_{\delta}$中的点距离$E \setminus E_{\delta}$的距离≥δ，而$A$是$E \setminus E_{\delta}$的子集），所以$B$就等于$E \setminus E_{\delta}$，其测度为：
$$\lambda(B) = \text{per}(E)\delta - \pi\delta^2$$
这个上界是紧的——我们可以直接构造出这样的$A$（比如取$E \setminus E_{\delta}$中任意一个测度为$\epsilon\lambda(E)$的子集），此时等号成立。

补充：小δ的近似情况 #

当$\delta$足够小时，$\pi\delta^2$项可以忽略，此时上界可以简化为：

• 若$\epsilon\lambda(E) \geq \text{per}(E)\delta$，则$\lambda(B) \leq \lambda(E)$
• 若$\epsilon\lambda(E) < \text{per}(E)\delta$，则$\lambda(B) \leq \text{per}(E)\delta$

这个近似在实际应用中很有用，尤其是当δ远小于$E$的最小宽度时。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Canine360