群作用于环的不变子环证明及具体实例问题
(a) 证明 ( R^G ) 是 ( R ) 的子环
要证明这个不变集合是原环的子环，咱们照着子环的定义一步步验证就行：
非空性：
环里的零元 ( 0 ) 肯定属于 ( R^G )。因为对任意 ( g \in G )，根据群作用保持加法的性质：( g \cdot 0 = g \cdot (0+0) = g \cdot 0 + g \cdot 0 )，两边减去 ( g \cdot 0 ) 就能得到 ( g \cdot 0 = 0 )，所以 ( 0 \in R^G )，集合非空。对加法封闭：
任取 ( a, b \in R^G )，也就是对所有 ( g \in G )，都有 ( g \cdot a = a )、( g \cdot b = b )。那看 ( a + b )：
( g \cdot (a + b) = g \cdot a + g \cdot b = a + b )，这就说明 ( a + b \in R^G )，加法封闭没问题。对乘法封闭：
同样取 ( a, b \in R^G )，根据群作用保持乘法的性质：
( g \cdot (ab) = (g \cdot a)(g \cdot b) = ab )，所以 ( ab \in R^G )，乘法也封闭。对加法逆元封闭：
任取 ( a \in R^G )，它的加法逆元是 ( -a )。咱们验证 ( g \cdot (-a) = -a )：
因为 ( g \cdot (a + (-a)) = g \cdot 0 = 0 )，而根据加法保持性，( g \cdot a + g \cdot (-a) = a + g \cdot (-a) )，所以 ( a + g \cdot (-a) = 0 )，这就推出 ( g \cdot (-a) = -a )，所以 ( -a \in R^G )。包含单位元（若 ( R ) 有单位元）：
假设 ( R ) 有乘法单位元 ( 1 )，对任意 ( g \in G )，( g \cdot 1 = g \cdot (1 \cdot 1) = (g \cdot 1)(g \cdot 1) )，这说明 ( g \cdot 1 ) 是幂等元。再用群元素的逆元 ( g^{-1} )，( g^{-1} \cdot (g \cdot 1) = 1 )，结合幂等性可得 ( g \cdot 1 = 1 )，所以 ( 1 \in R^G )。
所有子环条件都满足，因此 ( R^G ) 是 ( R ) 的子环。
(b) 求 ( \mathbb{C}[x,y]^{C_3} ) 的不变子环
这里 ( R = \mathbb{C}[x,y] ) 是复数域上的二元多项式环，( G = C_3 = {e, g, g^2} ) 是3阶循环群，群作用定义为 ( g \cdot x = \omega x )、( g \cdot y = \omega^2 y )，其中 ( \omega = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} ) 是三次单位根，满足 ( \omega^3 = 1 ) 且 ( 1 + \omega + \omega^2 = 0 )。
咱们要找所有满足 ( g \cdot f(x,y) = f(x,y) ) 的多项式，也就是不变多项式。首先，多项式可以拆成齐次分量的和，而群作用不改变多项式次数，所以只要每个齐次分量是不变的，整个多项式就是不变的。
先看单个单项式 ( x^m y^n ) 的不变性：
( g \cdot (x^m y^n) = (\omega x)^m (\omega^2 y)^n = \omega^{m + 2n} x^m y^n )
要这个等于原单项式，就得 ( \omega^{m + 2n} = 1 )，等价于 ( m + 2n \equiv 0 \pmod{3} )。
接下来找生成不变多项式的基本元素：
- ( x^3 )：( m=3, n=0 )，( 3 + 0 = 3 \equiv 0 \pmod{3} )，是不变元；
- ( y^3 )：( m=0, n=3 )，( 0 + 2*3 = 6 \equiv 0 \pmod{3} )，是不变元；
- ( xy )：( m=1, n=1 )，( 1 + 2*1 = 3 \equiv 0 \pmod{3} )，是不变元。
所有更高次的不变多项式都能由这三个元素组合出来：比如4次的 ( x^2 y^2 = (xy)^2 )，5次的 ( x^4 y = x^3 \cdot xy ) 等等。因此，这个不变子环就是：
[ \mathbb{C}[x,y]^{C_3} = \mathbb{C}[x^3, y^3, xy] ]
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ricci Ten
