母函数恒等定理的反例构造技术问询

我想构造一个反例：存在两个取值于$\mathbb{N}0$的随机变量$X+$和$X_-$，它们的母函数$\psi_{X_+}$和$\psi_{X_-}$在$(0,1)$区间内的无穷多个点$x_i$上取值相等，但这两个母函数并不完全相同。根据幂级数恒等定理，这种情况下它们的幂级数在$x>1$时必然发散。

我想到的构造方法是利用函数$\sin\left(\frac{1}{1-x}\right)$，把它拆成$f_+-f_-$——其中$f_+$是$\sin\left(\frac{1}{1-x}\right)$在$x=0$处展开的幂级数中正系数项的和，$f_-$则是负系数项绝对值的和。这样一来，$f_+$和$f_-$就可以分别作为$X_+$和$X_-$的母函数：因为它们的系数都是非负整数（对应随机变量取各个非负整数值的概率），而且满足$\psi_{X_+}(x)-\psi_{X_-}(x)=\sin\left(\frac{1}{1-x}\right)$。

借助$\sin$函数的周期性，我们能在$(0,1)$内找到无穷多个点使得$\sin\left(\frac{1}{1-x}\right)=0$，也就是$\psi_{X_+}(x)=\psi_{X_-}(x)$；但显然$f_+$和$f_-$是不同的函数，完美符合我们要找的反例条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Christoph Mark