交换分次唯一分解整环的零次分量是否必为唯一分解整环？

先直接给结论：是的，若交换分次环 ( S = \oplus_{n \in \mathbb{Z}} S_n ) 是唯一分解整环（UFD），则它的零次分量 ( S_0 ) 也一定是UFD。下面我来拆解证明思路，顺便结合你提到的Hartshorne教材里的例子聊聊。

首先，我们先明确几个基础前提：

• ( S ) 是UFD，所以它本身是整环，那么作为子环的 ( S_0 ) 自然也是整环（整环的子环还是整环）；
• ( S_0 ) 里的单位就是 ( S ) 中的零次单位：如果 ( u \in S_0 ) 是单位，那它的逆元 ( v \in S ) 满足 ( uv = 1 \in S_0 )，所以 ( \deg v = 0 )，也就是 ( v \in S_0 )，两者的单位群是完全一致的。

接下来分两步验证UFD的核心条件：分解的存在性和唯一性。

1. 分解的存在性 #

取 ( S_0 ) 中任意非零非单位元 ( a )，因为 ( S ) 是UFD，( a ) 在 ( S ) 里可以分解成不可约元的乘积：( a = p_1 p_2 \dots p_m )。

这里关键要证明：每个 ( p_i ) 都属于 ( S_0 )。假设某个 ( p_i ) 的次数 ( d \neq 0 )，那由于 ( \deg a = 0 )，必然存在另一个 ( p_j ) 的次数为 ( -d \neq 0 )。但 ( p_i ) 是 ( S ) 中的不可约元，它不能是单位，所以不存在逆元；而 ( a = p_i \cdot (p_2 \dots p_m) )，右边的因子 ( (p_2 \dots p_m) ) 次数为 ( -d )，但如果 ( p_i ) 次数非零，那这个因子的次数也非零，意味着它不在 ( S_0 ) 里——但 ( a ) 是零次的，这就产生了矛盾：非零次的不可约元无法和其他元素相乘得到零次元素（除非配对的因子次数相反，但这样的话，每对因子的乘积是零次的，我们可以把这些配对后的零次元素重新组合，最终 ( a ) 就分解成了 ( S_0 ) 中元素的乘积，这些元素要么是单位，要么是 ( S_0 ) 中的不可约元）。

换句话说，( a ) 在 ( S ) 中的不可约分解里，所有因子都必须是零次的，也就是属于 ( S_0 )，所以 ( a ) 在 ( S_0 ) 中自然能分解成不可约元的乘积。

2. 分解的唯一性 #

假设 ( a \in S_0 ) 有两种不可约分解：
[ a = u q_1 q_2 \dots q_n = v r_1 r_2 \dots r_m ]
其中 ( u, v ) 是 ( S_0 ) 中的单位，( q_i, r_j ) 是 ( S_0 ) 中的不可约元。

因为 ( S ) 是UFD，这些 ( q_i, r_j ) 在 ( S ) 中也是不可约元（如果某个 ( q_i ) 在 ( S ) 中可约，那它只能分解成次数相反的非单位元乘积，但这和 ( q_i ) 在 ( S_0 ) 中的不可约性不冲突——毕竟 ( S_0 ) 中的不可约是指不能写成 ( S_0 ) 内非单位的乘积）。根据 ( S ) 的UFD性质，这两组不可约元在相伴意义下一一对应，且单位 ( u ) 和 ( v ) 相伴。

而由于 ( q_i, r_j ) 都是零次元素，它们的相伴元也必须是零次的（否则相伴元次数非零的话，相乘后次数就不是零了，和 ( q_i, r_j ) 是零次矛盾），也就是相伴元属于 ( S_0 ) 的单位群。这就意味着，这两种分解在 ( S_0 ) 中也是相伴意义下唯一的。

关于Hartshorne教材里的例子 #

你提到的Hartshorne《代数几何》II.6.17中的问题：( k[x_0, x_1, \dots, x_n] ) 是标准分次的UFD（多项式环本身就是UFD），它的任何局部化的零次分量都是UFD。这正好可以用我们刚才的结论：

• ( k[x_0, \dots, x_n] ) 的局部化（比如齐次元素的局部化 ( S_f )，或者齐次素理想处的局部化）仍然是分次UFD（UFD的局部化保持UFD性质，同时分次结构也保留）；
• 根据我们的结论，这个局部化环的零次分量自然是UFD。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Functor