复数模的最小值求解咨询

问题：若 $|z|=1$ 且 $z\neq \pm1$，求 $|z|+\left|\frac{z^{2-1}{z}\right|+\left|\frac{z}2+1}{z}\right|$ 的最小值。

我尝试了几种方法求解这个问题。其实问题的核心就是求 $|z^2-1|+|z2+1|$ 的最小值（因为 $|z|=1$，所以 $\left|\frac{z^{2-1}{z}\right|=|z}2-1|$，$\left|\frac{z^{2+1}{z}\right|=|z}2+1|$，原式就等于 $1 + |z^2-1| + |z^2+1|$）。我试过把 $z$ 写成 $a+ib$ 的形式（已知 $a^2+b2=1$），展开 $z^2-1$ 和 $z^2+1$ 后，好像没找到头绪。该怎么解呢？

（已知答案是3）

两种可行的解法思路 #

方法一：补全你未完成的代数展开思路

你用 $z=a+ib$（$a^2+b2=1$）的方向完全正确，只是化简步骤没做透：

• 先计算 $z^2=(a2-b^2)+i2ab$
• 对于 $|z^2-1|$：
  代入展开得 $\sqrt{(a^2-b2-1)^2+(2ab)2}$，把 $b^2=1-a2$ 代入括号内的 $a^2-b2-1$，可得 $a^2-(1-a2)-1=2a^2-2=2(a2-1)$，平方后加上 $(2ab)^2$ 展开的结果，最终化简得 $|z^2-1|=2|b|$
• 同理，$|z^2+1|$ 化简后可得 $2|a|$

这样原式就转化为 $1+2(|a|+|b|)$，现在只需要求 $|a|+|b|$ 的最小值：
因为 $a^2+b2=1$，$(|a|+|b|)^2=1+2|ab|$，要让这个值最小，就要让 $|ab|$ 最小。当 $a=0$ 时（对应 $z=\pm i$，满足 $z\neq\pm1$），$|ab|=0$，此时 $|a|+|b|=1$，代入原式得 $1+2\times1=3$，就是最小值。

方法二：三角形式+几何意义结合

因为 $|z|=1$，设 $z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$（$\theta\neq0,\pi$），则 $z^2=e{i2\theta}$：

• $|z^2-1|=|(\cos2\theta-1)+i\sin2\theta|=2|\sin\theta|$（利用二倍角公式化简）
• $|z^2+1|=|(\cos2\theta+1)+i\sin2\theta|=2|\cos\theta|$

原式变为 $1+2(|\sin\theta|+|\cos\theta|)$，同样转化为求 $|\sin\theta|+|\cos\theta|$ 的最小值：
当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{3\pi}{2}$ 时（对应 $z=\pm i$），$|\sin\theta|=1$、$|\cos\theta|=0$，此时 $|\sin\theta|+|\cos\theta|=1$，代入得原式最小值为3。

从几何角度看，$z^2$ 也在单位圆上，$|z^2-1|$ 和 $|z^2+1|$ 分别是单位圆上的点到 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$ 的距离。当 $z^2=-1$（即 $z=\pm i$）时，这两个距离之和为 $2+0=2$，加上 $|z|=1$ 正好得到3。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ekarshi