关于Lang构造Grothendieck群中子群B非平凡性的疑问

嘿，我之前看到过相关的讨论，但它没解决我的困惑。现在我卡在Lang构造Grothendieck群的一个点上，想好好捋清楚：

我们先从背景说起：给定一个交换幺半群M，然后构造由M生成的自由阿贝尔群$F_{ab}(M)$，M中元素x对应的自由群生成元记为$[x]$。Lang定义了一个子群B，里面的所有元素都形如$[x+y] - [x] - [y]$（其中x,y属于M），然后Grothendieck群就是商群$F_{ab}(M)/B$。

我的疑问是：B怎么会不是平凡子群呢？毕竟$F_{ab}(M)$是阿贝尔群，我一开始觉得是不是可以这么推导：$[x+y] - [x] - [y] = [x] + [y] - [x] - [y] = e$（e是群的单位元），那这样B不就只含单位元了吗？

后来我才意识到自己犯了一个关键错误：自由阿贝尔群里的生成元是完全形式化的符号，M中的加法运算在自由群里并没有被自动“生效”。换句话说，$[x+y]$和$[x]+[y]$在$F_{ab}(M)$里是两个完全不同的元素！

举个具体的例子就好懂了：假设M是自然数加法幺半群$\mathbb{N}$，那么$F_{ab}(\mathbb{N})$的生成元是$[0],[1],[2],\dots$，每个生成元都是独立的——在自由群里，$[2]$就是一个单独的符号，和$[1]+[1]$没有任何关系。这时候B里的元素比如$[2]-[1]-[1]$，在$F_{ab}(\mathbb{N})$里绝对不是单位元，因为$[2]$和$[1]+[1]$是完全不同的线性组合。

而子群B的作用，就是把这些“应该相等”的元素强行等同起来：当我们商掉B之后，$[x+y]$就和$[x]+[y]$在商群里变成同一个元素了，这样商群就继承了M的加法结构，同时成为一个阿贝尔群（比如自然数幺半群的Grothendieck群就是整数群$\mathbb{Z}$，这完全符合我们的预期）。

所以回到最初的问题：B里的元素在$F_{ab}(M)$中都是非平凡的（除非是x+y=x+y这种无意义的重复，但一般情况下都是非单位元），因此B不是平凡子群。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者froitmi