关于局部版Cartan-Ambrose-Hicks定理证明细节的技术问询

不好意思哈，内容篇幅有点长，但其实大部分都是概念和约定内容，没有太多复杂的论证推导部分。

设$M^{{n}$和$\bar{M}}{n}$为两个黎曼流形。取定基点$p \in M, \bar{p} \in \bar{M}$，以及一个等距映射$I: T_p M \rightarrow T_{\bar{p}} \bar{M}$。

当$r>0$足够小时，定义微分同胚：
$$\varphi=\exp {\bar{p}} \circ I \circ \exp {p}^{-1}: B{r}(p) \rightarrow B{r}(\bar{p}).$$
记$P_{\gamma} :T_{\gamma(0)}M\to T_{\gamma(a)}M$为沿曲线$\gamma:[0,a]\to M$的平行移动，$R, \bar{R}$分别为$M^{{n}$和$\bar{M}}{n}$的曲率张量...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HeroZhang001