{0,1}^ℝ中稠密子集Y的无限子集聚点存在性证明咨询

设${0,1}$赋予离散拓扑，$X = {0,1}^{\mathbb{R}}$赋予乘积拓扑。定义$Y = { \chi_A: A \subset \mathbb{R}, A \text{ 可数}} $，我想证明$Y$的每个无限子集$K \subset Y$都在$Y$中有一个聚点。

我尝试的思路是：因为$K$无限，取其中的一个序列$(\chi_{A_n}){n \in \mathbb{N}}$，其中每个$\chi{A_n} \in K$。$\chi_{\bigcup A_n} \in Y$，我一直试图证明$\chi_{\bigcup A_n} \in \overline{K}$，但不确定这个思路是否正确。

你这个思路有一定直觉性，但直接取所有$A_n$的并的特征函数不一定是$K$的聚点，我举个简单反例就能说明：比如取$A_n = [n, n+1) \cap \mathbb{Q}$，这些$A_n$是两两不交的可数集，那么$\bigcup A_n = \mathbb{Q}$，$\chi_{\mathbb{Q}}$的一个开邻域可以取某个$x \in [0,1) \cap \mathbb{Q}$，邻域要求函数在$x$处取值为1。但序列中只有$\chi_{A_0}$在$x$处取1，其他所有$\chi_{A_n}$（$n \geq 1$）在$x$处都取0，这个邻域只包含序列中的一个元素，显然不符合聚点的定义——聚点要求每个开邻域都包含集合中无限多个点。所以你的初始思路需要调整。

下面我给你两种可行的证明方法，都是针对乘积拓扑和$Y$的结构设计的：

方法一：利用超滤子构造聚点（通用无限集情况） #

因为$K$是无限集，我们先把$K$中的元素对应到可数子集族${A_f \mid f = \chi_{A_f} \in K}$。取$\mathbb{N}$上的一个非主超滤$\mathcal{U}$（非主超滤的性质是：它包含所有无限子集，且对有限交封闭），然后定义集合：
$$A = { x \in \mathbb{R} \mid {n \in \mathbb{N} \mid x \in A_n} \in \mathcal{U} }$$
这里$(\chi_{A_n})$是$K$中任意取出的一个无限序列（其实不用序列，直接对$K$用超滤也可以，用序列只是更直观）。

首先验证$A \in Y$：每个$A_n$是可数集，所以$\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$是可数个可数集的并，本身也是可数集，而$A$是这个并集的子集，因此$A$可数，$\chi_A \in Y$。

接下来证明$\chi_A$是$K$的聚点：任取$\chi_A$的一个基本开邻域$U$（乘积拓扑的基本开邻域由有限个坐标点确定），假设$U$由坐标$x_1, x_2, ..., x_k$定义，即：
$$U = { f \in X \mid f(x_i) = \chi_A(x_i) \text{ 对所有 } i=1,2,...,k }$$
对于每个$x_i$：

• 如果$\chi_A(x_i)=1$，则集合$S_{x_i} = {n \mid x_i \in A_n} \in \mathcal{U}$；
• 如果$\chi_A(x_i)=0$，则集合$\mathbb{N} \setminus S_{x_i} = {n \mid x_i \notin A_n} \in \mathcal{U}$。

由于超滤对有限交封闭，这些集合的交集$T = \bigcap_{i=1}^k S_{x_i}'$（$S_{x_i}'$是$S_{x_i}$或其补集，对应$\chi_A(x_i)$的取值）也属于$\mathcal{U}$，因此$T$是无限集。这意味着$K$中有无限多个$\chi_{A_n}$满足$\chi_{A_n}(x_i) = \chi_A(x_i)$对所有$i$，即这些$\chi_{A_n} \in U \cap K$。根据聚点的定义，$\chi_A$是$K$的聚点。

方法二：对角化构造（适合可数无限集） #

如果$K$是可数无限集，我们可以用构造性的对角化方法：把$K$写成${ \chi_{A_n} \mid n \in \mathbb{N} }$，每个$A_n$可数，记$A_n = { a_{n,m} \mid m \in \mathbb{N} }$。

我们递归构造子序列和目标集合$A$：

1. 第一步：取点$a_{1,1}$，观察序列中$\chi_{A_n}(a_{1,1})$的取值，必然有一个值（0或1）被无限多个$\chi_{A_n}$取到，记这个值为$\chi_A(a_{1,1})$，把这些取到该值的$\chi_A$组成子序列$K_1$。
2. 第二步：从$K_1$中取点$a_{2,1}$，同样找到$K_1$中无限多个$\chi_{A_n}$在$a_{2,1}$处取同一个值，记为$\chi_A(a_{2,1})$，组成子序列$K_2$。
3. 重复这个过程，第$k$步得到子序列$K_k$，确定$\chi_A(a_{k,1})$的取值。

最后，取对角线序列$n_k \in K_k$，定义$A$为所有被我们确定了取值的点的集合（显然$A$可数）。这样构造出的$\chi_A$满足：对于任意有限个坐标点，都有无限多个$K$中的元素在这些坐标上和$\chi_A$一致，因此$\chi_A$是$K$的聚点。

再总结一下你的初始思路问题 #

$\bigcup A_n$的特征函数只保证在所有$A_n$的并上取1，但乘积拓扑的邻域只关心有限个坐标，可能存在某个坐标$x$在$\bigcup A_n$中，但只有有限个$A_n$包含$x$，这时候$\chi_{\bigcup A_n}$在$x$处取1，但序列中只有有限个$\chi_{A_n}$在$x$处取1，对应的邻域就只包含有限个序列元素，不符合聚点要求。

所以核心是要构造一个$A$，使得每个有限坐标集上都有无限多个$K$中的元素和$\chi_A$一致，而不是简单取并集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JazzyStudent