如何修改曲面以满足指定的距离与路径长度约束条件

我现在遇到这么个问题：我有两个变量$\phi$和$\theta$，想要构建一个光滑曲面，让曲面上的距离$D$满足下面这些规则：

$$
\begin{align*}
1)& : D[(\phi,\theta),(\phi+2\pi k,\theta)] = 0 :\text{for}: k=0,\pm 1,\pm 2,...\
2)& : D[(\phi,\theta),(\phi,\theta+2\pi k)] = 0 :\text{for}: k=0,\pm 1,\pm 2,...\
3)& : D[(\phi_1,\pi),(\phi_2,\pi)] = 0 :\text{for arbitrary}:\phi_1,\phi_2\
4)& : L[(0,0),(2\pi,0)] = L[(\phi,0),(\phi,2\pi)]
\end{align*}
$$

这里的$L$指的是沿着曲线从一端到另一端的路径长度。

目前我能想到的带有规整周期性结构的曲面只有球面和环面，但球面显然不符合这些约束——就拿规则4来说，球面上赤道（对应这里$\theta=0$的闭合曲线）的长度和任意一条经线（固定$\phi$、从$\theta=0$到$\theta=2\pi$的路径）的长度完全不一样，而且虽然球面的极点（对应$\theta=\pi$）满足规则3里所有$\phi$点距离为0的要求，但整体还是不满足所有条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者David G.