关于SO(2m)在O(2m)/U(m)上的共轭作用及ℝⁿ（n=2m）中正交复结构对称空间的疑问

我最近在琢磨ℝⁿ（n=2m，m是整数）里所有正交复结构构成的对称空间S的直观意义，看的讲义里给出了不少有用的结论，但在一个脚注细节上有点绕不过来，想跟大家讨教下：

首先先铺垫下已知的内容：

• 这个对称空间S可以等价描述为$S = O(n) ∩ A(n) = {j ∈ A(n) | j^2 = -I}$，其中$A(n)$是ℝⁿ上所有反对称矩阵的集合；
• 另外讲义里也证明了S和商空间$O(2m)/U(m)$同构。

现在卡住的点是讲义里Example 7的脚注内容：

对于任意$j ∈ S$，它在$SO(n)$（特殊正交群）下的共轭类，要比它在$O(n)$（正交群）下的共轭类严格更小……

我实在想不通为什么这两个共轭类会有这样的大小区别，有没有朋友能给我讲讲这里的直观思路或者背后的数学原理呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andrius Kulikauskas