使用模运算计算嵌套幂表达式的最后两位数字

要解决这个问题，我们需要计算表达式 (7^{7{7^{7}}} - 7^{7{7}} - 7^7 - 7) 的最后两位数字，本质上就是求这个表达式对 100取模 的结果。我们可以利用模运算的性质和幂的周期性来逐步简化每个嵌套幂项。

核心思路：找到7的幂在模100下的周期 #

因为7和100互质，我们先手动计算前几项的模100结果，找出周期规律：

• (7^1 = 7 \equiv 7 \mod 100)
• (7^2 = 49 \equiv 49 \mod 100)
• (7^3 = 7 \times 49 = 343 \equiv 43 \mod 100)
• (7^4 = 7 \times 43 = 301 \equiv 1 \mod 100)

可以看到，7的幂在模100下的周期是4——也就是说，对于任意正整数k，(7^k \equiv 7^{k \mod 4} \mod 100)（当k≥1时）。接下来我们只需要计算每个幂项的指数对4取模的结果，就能快速得到该幂项模100的值。

逐步计算每个项的模100结果 #

1. 计算 (7^7 \mod 100)
   7^7的指数是7，7除以4余3，所以 (7^7 \equiv 7^3 \equiv 43 \mod 100)。

2. 计算 (7^{77} \mod 100)
   这个项的指数是 (7^7 = 823543)，先求这个指数对4取模的结果：
   因为7≡-1 mod4，所以 (7^7 \equiv (-1)^7 = -1 \equiv 3 \mod4)。
   因此 (7^{77} \equiv 7^3 \equiv43 \mod100)。

3. 计算 (7^{7{7^7}} \mod 100)
   这个项的指数是 (7^{77})，同样先求指数对4取模的结果：
   (7^{77}) 是7的奇数次幂，所以 (7^{奇数} \equiv (-1)^{奇数} = -1 \equiv3 \mod4)。
   因此 (7^{7{7^7}} \equiv7^3 \equiv43 \mod100)。

计算最终表达式的模100结果 #

把所有项代入原式：
[
\begin{align*}
&7^{7{7^{7}}} - 7^{7{7}} - 7^7 -7 \mod100 \
=&43 -43 -43 -7 \mod100 \
=&0 -43 -7 \mod100 \
=&-50 \mod100 \
=&50
\end{align*}
]

所以原表达式的最后两位数字是50。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aryan Malik