关于几乎必然收敛是否蕴含子序列完全收敛的技术问询

这个问题想要搞清楚完全收敛比几乎必然收敛到底强出多少。如果你脑海里有能凸显二者关系的结论，欢迎分享出来。

我的核心疑问是：若 $X_n \xrightarrow{a.s.} X$，是否存在一个子序列 $X_{n_k}$，使得 $\sum \mathbb{P}(|X_{n_m} -X|<2^{-m}) < \infty$？这其实就是子序列层面的完全收敛（这里我们选了 $\varepsilon_m = 2^{-m}$，不过只要满足 $\varepsilon_m \to 0$，任何其他的 $\varepsilon_m$ 选择都是可行的）。

我的推理思路原本是打算利用几乎必然收敛的上确界刻画——也就是：几乎必然收敛当且仅当对所有 $m$，$\mathbb{P}(\sup_n |X_n -X| > 2^{-m}) \to 0$——来选出一个指标子序列...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Simone Licciardi