不可约代数簇开子集与原簇分式域相等的证明困惑

嘿，我来帮你把这最后一步的证明捋明白！你已经搞定了关键的一半——利用U在V中稠密的性质，得到限制映射$k[V] \to k[U]$是单射，从而$k(V) \subset k(U)$。现在咱们来补全反向包含$k(U) \subset k(V)$的证明，其实核心就是把U上的有理函数“转化”成V的分式域里的元素。

首先，先明确$k(U)$里的元素是什么：任何$f \in k(U)$都能写成$\frac{g}{h}$的形式，其中$g,h \in \Gamma(U,\mathcal{O}_V)$，而且$h$在U上不恒为零（毕竟U在V中稠密，这也意味着$h$作为V上的函数不会恒为零）。

接下来，咱们把$g$和$h$对应到$k(V)$中：

• 对于$g \in \Gamma(U,\mathcal{O}_V)$，它是U上的正则函数。因为V是不可约代数簇，随便取V里的一个点$x$，总能找到$x$的仿射开邻域$W \subset V$，而$W \cap U$是W里的非空开集（毕竟U稠密）。$g$在$W \cap U$上是正则的，也就是说在这个开集上，$g$可以写成W上两个多项式的商$\frac{G}{H}$，其中$H$在$W \cap U$上不为零——因为W是不可约的，$H$在W上肯定不恒为零，所以$\frac{G}{H}$就是W上的有理函数，而不可约簇的所有仿射开子集的分式域都是统一的$k(V)$，所以$g$本身就属于$k(V)$。
• 同理，$h$也属于$k(V)$，而且因为$h$在U上不恒为零，它在$k(V)$里是非零元。

这样一来，$f = \frac{g}{h}$自然就是$k(V)$中的元素了，所以$k(U) \subset k(V)$。

把两边的包含关系合起来，就得到$k(U) = k(V)$啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ImBear