求8级23次戴德金η积恒等式的可行证明方法

嘿，咱们先把符号定义搞清楚：
我们记 $u_n := \eta(n\tau)$，这里的 $\eta$ 是戴德金η函数，另外定义 $q := e^{2\pi i\tau}$。

先给你铺垫两个已知的简单恒等式：

• 4级24次的最简恒等式：
  $$0 = u_1^{16}u_48 + 16 u_1^8 u_4^{16} - u_2^{24}$$
• 8级12次的最简恒等式：
  $$0 = u_1^4 u_2^2 u_4^2 u_8^4 + 4 u_2^4 u_8^8 - u_4^{12}$$

现在我们要解决的是这个8级23次的恒等式（完整形式可补充后续项）：
$$ 0 = u_1^4 u_4^{19} + 2 u_1^2 u_2^7 u_4^{12} u_8^2 + u_2^{14} u_4^5 u_8^4 - 2 u_1^8 u_2^2 u_4^9 u_8^4 - 2 u_1^6 u_2^9 u_4^2 u_8^6 - 12 u_1^4 ... $$

可行的证明思路 #

• 利用戴德金η函数的模变换性质
  戴德金η函数有明确的模变换规则，比如对$\tau \mapsto \tau+1$和$\tau \mapsto -1/\tau$的变换，每个$u_n = \eta(n\tau)$都会对应一个带乘数因子的表达式。你可以把恒等式里的所有项都用模变换后的形式替换，然后一步步化简，验证两边是否相等。计算的时候要特别注意每个项的指数和乘数因子，别算错系数哦。

• q-级数展开验证法
  因为戴德金η函数的q-级数展开是$\eta(\tau) = q^{{1/24}\prod_{k=1}}\infty (1-q^k)$，所以每个$u_n$都能展开成q的幂级数。你可以把恒等式两边的所有项都展开成q级数，然后对比两边相同幂次的系数是否完全一致。低次项可以手动计算，高次项建议用符号计算工具辅助验证，只要足够多项的系数都匹配，就能证明这个恒等式成立。

• 基于已知低阶恒等式的推导
  既然已经有了4级和8级的低次恒等式，你可以尝试对这些已知式子进行变形、乘法运算或者变量代换，把它们组合起来推导出目标的23次恒等式。比如先把已知恒等式变形，得到$u_2$、$u_8$用$u_1$、$u_4$表示的关系，再代入到目标恒等式中，把所有项统一成少数几个变量的表达式，最后化简看是否等于0。

• 模形式空间维度分析
  首先确认恒等式中的每一项都是对应的模形式，然后计算该模形式空间的维度。如果这个空间的维度很小（比如维度为1），那么所有空间内的模形式都是某个基模形式的倍数。这时候你只需要验证目标恒等式属于这个空间，再找一个特殊的$\tau$值（比如$\tau=i$或者$\tau=(1+i)/2$）代入验证等式成立，就能证明它对所有$\tau$都成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Somos