计算满足与自身所有循环排列均存在某一位置字符相同的单词数量

嘿，这是个挺有意思的组合计数问题，先把定义和例子给你理清楚：

设 $a(m,n)$ 表示长度为 $m$、取自包含 $n$ 个字母的字母表的单词 $W$ 的数量，这类单词的核心性质是：它的每一个循环排列，都能和原单词 $W$ 在至少一个位置上找到相同的字母。

给你两个直观的例子帮你理解：

• 单词 aabcb 是符合条件的（当 $m=5$ 且字母表大小 $n\ge3$ 时）：它的所有循环排列分别是 baabc、cbaab、bcbaa、abcba，这些排列各自在第2位、第5位、第3位、第1位和原单词的对应位置字母完全一致。
• 但单词 aabbc 就不符合要求，因为它的某个循环排列 bcaab 和原单词在每一个位置上的字母都不相同，完全没有重合的位置。

目前已经有一些小的 $m$ 和 $n$ 对应的 $a(m,n)$ 取值记录，要是想推导通用的计算公式，一般会用到容斥原理或者组合数学里和循环群相关的技巧来分析~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tom Wilde