基于欧文-霍尔分布求解青蛙跨越深渊的安全概率问题

咱们先来把这个趣味概率问题拆解清楚：

• 青蛙从数轴原点出发，每秒钟会随机向右跳一段距离，这段距离是0到1之间的均匀随机数
• 数轴上1到5/4（也就是1.25）的区间是深渊，青蛙只要落到这个区间里就直接掉下去，游戏结束
• 只要青蛙能到达或者超过3的位置，而且中途没掉深渊，就算安全脱险

我打算换个思路：先算青蛙掉深渊的概率，再用1减去这个概率，就能得到安全的概率。这里咱们可以借助欧文-霍尔分布来简化计算——它专门描述n个独立的(0,1)均匀分布随机变量之和的概率分布，刚好对应青蛙n次跳跃后的位置分布。

先梳理关键边界条件 #

首先明确几个核心结论，能帮我们少走弯路：

1. 第一次跳跃后，青蛙的位置范围是(0,1)，刚好到不了深渊，所以第一次不可能掉下去，概率为0
2. 当青蛙的位置≥5/4时，它已经跳过深渊了，之后不管怎么跳，都不会再掉进深渊（因为每次最多跳1，位置只会越来越大），而且只要继续跳，最多3次就能到达≥3的位置（比如从5/4开始，连跳3次1就能到5/4+3=17/4=4.25），所以位置≥5/4时，青蛙最终安全的概率是1
3. 当青蛙的位置在(1,5/4)时，已经掉深渊了，安全概率为0

分区间计算安全概率P(x) #

设P(x)为青蛙当前位置是x时，最终安全的概率，我们需要求的就是P(0)。

情况1：x≥2

此时青蛙跳一次的距离y∈(0,1)，位置会变成x+y∈(x,x+1)，而x≥2，所以x+y≥2，且x+1≥3（当x≥2时，x+1≥3），所以要么直接跳到≥3的位置（安全），要么跳到2≤x+y<3的位置——而根据前面的结论，这个区间的安全概率是1，所以P(x)=1。

情况2：5/4≤x<2

青蛙跳一次后位置x+y∈(5/4,x+1)，其中x+1<3（因为x<2）。当y≥2-x时，x+y≥2，安全概率为1；当y<2-x时，x+y∈(5/4,2)，安全概率也是1（因为这个区间已经跳过深渊），所以不管怎么跳，最终都能安全，P(x)=1。

情况3：1/4<x≤1

此时青蛙跳一次的位置会分成三部分：

• y∈(0,1-x)：位置x+y∈(x,1)，还没到深渊，安全概率为P(x+y)
• y∈(1-x,5/4-x)：位置x+y∈(1,5/4)，掉深渊，安全概率为0
• y∈(5/4-x,1)：位置x+y∈(5/4,x+1)，安全概率为1

所以P(x)的表达式为：
$$
P(x) = \int_0^{1-x} P(x+y) dy + \left(1 - \frac{5}{4} + x\right)
$$
通过变量替换和微分方程求解，最终得到这个区间的安全概率：
$$
P(x) = 1 - \frac{e^{1-x}}{4}
$$
比如x=1时，P(1)=1 - 1/4=3/4，这和我们的直觉一致：青蛙从1出发，跳0到1/4的距离会掉深渊（概率1/4），跳1/4到1的距离会跳过深渊（概率3/4），所以安全概率是3/4。

情况4：0≤x≤1/4

此时青蛙跳一次后，位置x+y∈(x,x+1)，其中x+1≤5/4，所以只有两部分：

• y∈(0,1-x)：位置x+y∈(x,1)，安全概率为P(x+y)
• y∈(1-x,1)：位置x+y∈(1,5/4)，掉深渊，安全概率为0

所以P(x)的表达式为：
$$
P(x) = \int_x^1 P(z) dz
$$
结合x=1/4处的连续条件，求解得到这个区间的安全概率：
$$
P(x) = e^{\frac{1}{4}-x} - \frac{e^{1-x}}{4}
$$

最终安全概率 #

把x=0代入上面的表达式，得到青蛙从原点出发的安全概率：
$$
P(0) = e^{\frac{1}{4}} - \frac{e}{4} \approx 1.2840 - 0.6796 = 0.6044
$$

简单说，青蛙安全脱险的概率大约是60.44%，或者用精确表达式就是$e^{1/4} - \frac{e}{4}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Satish Ramanathan