证明具有特定性质的集合对乘法封闭

嘿，我最近碰到这么个问题：要证明集合 ( A ) 对乘法封闭——也就是只要 ( x, y ) 都是 ( A ) 里的元素，它们的乘积 ( xy ) 也一定在 ( A ) 里。而集合 ( A ) 提前给了这几个性质：

• ( 0 \in A )
• ( 1 \in A )
• 若 ( x, y \in A )，则 ( x - y \in A )
• 若 ( x \neq 0 )，则 ( \frac{1}{x} \in A )
• 若 ( x, y \in A )，则 ( x + y \in A )

下面我就一步步拆解证明过程，保证每一步都清晰：

第一步：先证任意 ( x \in A )，它的平方 ( x^2 ) 也在 ( A ) 里 #

分几种情况来看：

• 如果 ( x = 0 )，那 ( 0^2 = 0 )，本来就在 ( A ) 里；
• 如果 ( x = 1 )，( 1^2 = 1 )，也在 ( A ) 里；
• 如果 ( x \neq 0 ) 且 ( x \neq 1 )，根据性质3，( x - 1 ) 肯定在 ( A ) 里。再结合性质4，( \frac{1}{x} ) 和 ( \frac{1}{x-1} ) 也都在 ( A ) 里。

利用性质3，两个 ( A ) 里的元素相减结果还是在 ( A ) 里，所以：
[
\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x-1)}{x(x-1)} = \frac{1}{x(x-1)} \in A
]
再用性质4，这个元素的倒数也在 ( A ) 里，也就是 ( x(x-1) \in A )。把它展开：
[
x(x-1) = x^2 - x \in A
]
最后根据性质5，给这个结果加上 ( x )（因为 ( x \in A )），就能得到：
[
(x^2 - x) + x = x^2 \in A
]
这么一来，不管 ( x ) 是啥，只要在 ( A ) 里，它的平方就一定在 ( A ) 里。

第二步：推导任意 ( x, y \in A )，乘积 ( xy \in A ) #

首先，根据性质5，( x + y ) 属于 ( A )，再结合第一步的结论，( (x+y)^2 ) 也在 ( A ) 里。把这个平方展开：
[
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
]
我们已经知道 ( x^2 ) 和 ( y^2 ) 都在 ( A ) 里，再用性质5，( x^2 + y^2 ) 也属于 ( A )。然后根据性质3，用 ( (x+y)^2 ) 减去 ( x^2 + y^2 )，结果还是在 ( A ) 里：
[
(x+y)^2 - (x^2 + y^2) = 2xy \in A
]
接下来处理系数2：根据性质5，( 1 + 1 = 2 )，所以 ( 2 \in A )；再用性质4，( \frac{1}{2} \in A )。

现在我们可以把 ( 2xy ) 和 ( \frac{1}{2} ) 结合起来，利用加减和平方的结论推导：
[
xy = \frac{(x+y)^2 - x^2 - y^2}{2}
]
右边的分子是 ( A ) 里的元素相减，结果在 ( A ) 里；再乘以 ( \frac{1}{2} )（属于 ( A ) 的元素），最终得到的 ( xy ) 也必然在 ( A ) 里。

另外还要验证特殊情况：如果 ( x = 0 )，那 ( 0 \times y = 0 \in A )；如果 ( y = 0 ) 同理；如果 ( x = 1 )，( 1 \times y = y \in A )，这些都符合要求。

这样就完整证明了集合 ( A ) 对乘法封闭啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Oth S