我现在陷入了一个（希望只是很小的）误区，想请人帮我点醒一下：在李的《光滑流形导论》（第二版）第574页中，写到函数$f$的哈密顿向量场$X_f$在任意达布坐标系下，可以表示为：
$$\sum_i \left( a^i\frac{\partial}{\partial x^i} + b^i\frac{\partial}{\partial y^i}\right)$$
其中$(a^i,bi)$是需要确定的系数。

这里我有点转不过弯来：$X_f$在流形的每一点都对应一个切向量，而$\partial/\partial x^i$不是已经构成了每一点切空间的一组基吗？那照理说$X_f$应该写成下面这种形式才对啊？
$$\sum_i \left( a^i\frac{\partial}{\partial x^i}\right)$$
（原提问内容此处截断）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sam