从淬火到退火的极限定理：随机环境中离散时间过程的收敛性推导疑问

我现在有个关于随机环境中离散时间过程的问题想请教各位：

考虑随机环境中的离散时间过程 $X = (X_n){n \geq 0}$。如果我已经证明，对于随机环境的每一个实现（也就是在淬火测度 $P^{\omega}$ 下），当 $n \rightarrow \infty$ 时，$X{\lfloor{nt}\rfloor} / \sqrt{n}$ 都收敛到布朗运动 $W_t$，那我能不能进一步得出结论：在退火测度 $\mathbb{P}$ 下，$X_{\lfloor{nt}\rfloor} / \sqrt{n}$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时也收敛到布朗运动 $W_t$？

更新：

我个人琢磨着这个结论应该是成立的，因为我已经知道对于 $\mathbb{P}$ 几乎所有的环境，都满足：
$$\lim_{n \rightarrow \infty} P^{\omega}\left( \frac{X_{\lfloor nt \rfloor}}{\sqrt{n}} \in \cdot \right) = \mathcal{L}(W_t)$$
这里 $\mathcal{L}(W_t)$ 表示布朗运动的概率分布。那是不是可以用控制收敛定理或者某种概率测度的收敛性质，把淬火情形下的收敛结果推广到退火情形呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathick