阿基米德螺旋为何是单位圆对i的导数？及基于分数阶导数的阿基米德螺旋谱拓展咨询

嘿，咱们来唠唠这个挺有意思的数学关联——为啥阿基米德螺旋会是复平面上单位圆对i的导数？

首先，复平面里的单位圆可以写成 $z=e^{i\theta}$ 这个形式。如果我们对它求关于i的偏导，会得到：
$$\frac{\partial z}{\partial i}=\theta e^{i\theta}$$
你看，这结果刚好就是阿基米德螺旋的表达式！是不是有点巧？不过咱们还能再往前推一步。

指数函数的Weyl分数阶导数公式是这样的：
$$_{-\infty}W_x^\alpha e^{ax}=a\alpha e^{ax}$$
要是咱们把公式里的$x$换成$i$，$a$换成$\theta$，那阶数为$\alpha$（不管是正还是负）的分数阶导数，就能生成一整套完整的阿基米德螺旋谱，也就是：
$$D^\alpha e^{{i\theta}=\theta}\alpha e^{i\theta}$$

给你举几个具体的例子：

• 当$\alpha=1/2$时，对应的是费马螺旋
• 当$\alpha=-1/2$时，对应的是利图乌斯螺旋
• 还有双曲螺旋等等，这些都属于这个螺旋谱里的成员。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cye Waldman