严格单调函数（如随机变量CDF）之和的反函数计算及Y=X²的CDF反函数求解

我最近在尝试推导随机变量 $Y=X^2$ 的CDF反函数的一般形式，这里 $X$ 和 $Y$ 都是随机变量。已知 $X$ 的CDF $F_X$ 是严格递增函数，那它的反函数自然也是严格递增的。而 $Y=X^2$ 的CDF $F_Y=F_{X^2}$ 同样是严格递增的，它的通用表达式是：

$$F_Y(y)=F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})$$

最开始我想直接把等式里的两项分别取反函数，再重新组合出有意义的结果，但试了之后发现这条路走不通。后来我换了个思路，想着能不能以 $F_X(\sqrt{x})$ 这个项为基础，做一个随变量变化的右移调整，也就是假设反函数的形式是这样的：

$$F_Y^{{-1}=\left(F_X}{-1}\left(y+g(y)\right)\right)^2$$

其中 $g(y)$ 是一个待确定的函数，不过目前还没找到合适的求解方向。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Daniel Muñoz