求满足a+b+c=n的正整数有序三元组(a,b,c)的数量公式

嗨，你提到在看Paul Zeitz的书时卡在了习题6.2.23，这个问题完全可以用你想到的**星与条（Stars and Bars）**方法解决，咱们一步步理清楚：

问题：求满足 (a+b+c=n) 的正整数有序三元组 ((a,b,c)) 的数量公式。

你已经尝试了n=50的情况，这里先帮你厘清一下：如果是正整数解的话，n=50的正确结果应该是 (\binom{49}{2})，你之前得到的 (\binom{52}{2}) 其实是非负整数解的数量~ 不过没关系，咱们把这个思路推广到一般情况：

因为a、b、c都是正整数，我们可以先做个简单的变量替换：令 (a'=a-1)，(b'=b-1)，(c'=c-1)，这样 (a',b',c') 就都变成了非负整数（也就是可以取0的整数）。

把替换后的变量代入原方程，就会得到：
[
(a'+1)+(b'+1)+(c'+1)=n
]
整理后简化为：
[
a'+b'+c'=n-3
]

现在问题就转化成了求这个非负整数方程的解的数量，而星与条的核心结论正好能用上：对于方程 (x_1+x_2+\dots+x_k=m)（其中每个 (x_i) 都是非负整数），它的解的数量是组合数 (\binom{m+k-1}{k-1})。

对应到咱们的问题里，变量个数k=3，m=n-3，代入公式就能得到解的数量为：
[
\binom{(n-3)+3-1}{3-1}=\binom{n-1}{2}
]

我们可以验证几个小值来确认：

• 当n=3时，只有(1,1,1)这1个解，(\binom{3-1}{2}=\binom{2}{2}=1)，完全符合；
• 当n=4时，有序三元组有(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)，共3个，(\binom{4-1}{2}=\binom{3}{2}=3)，也对得上。

另外还要注意n的取值范围：因为a、b、c都是正整数，所以n必须是≥3的正整数；如果n<3，不存在这样的正整数三元组，数量就是0。

把组合数展开的话，公式也可以写成 (\frac{(n-1)(n-2)}{2})，两种形式是等价的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JAB