求证积分等式∫ₐᵇf(x)dx=(1/n)∫ₙₐⁿᵇf(x/n)dx

嘿，你的这个观察完全正确！用变量替换法就能轻松把这个等式证清楚，咱们一步步来拆解：

• 先聚焦等式右边的积分项：$\frac{1}{n}\int_{na}^{nb} f\left(\frac{x}{n}\right)dx$
• 做变量替换：令 $u = \frac{x}{n}$，那么反过来 $x = nu$，对x求导可得 $dx = n du$
• 同步替换积分上下限：当$x=na$时，$u = \frac{na}{n} = a$；当$x=nb$时，$u = \frac{nb}{n} = b$
• 将替换后的变量和上下限代入右边积分：$\frac{1}{n}\int_{a}^{b} f(u) \cdot n du$
• 这里的$\frac{1}{n}$和分子的$n$可以直接约掉，得到$\int_{a}^{b} f(u) du$
• 积分变量只是一个“占位符”，把$u$换成$x$，就和左边的$\int_a^b f(x)dx$完全一致了！

补充一句：这里要注意$n \neq 0$，不然积分上下限会重合为0，积分就失去实际意义啦。这个性质其实是积分的缩放变换特性，在简化积分区间、调整被积函数形式时经常会用到。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vicente