关于以k(X)为分式域且不含k的离散赋值环（DVR）的存在性问询

我最近在做Fulton的Algebraic Curves里的问题2.27，过程中冒出了好多疑问。目前我试着证明了一个一般性定理，但总觉得证明可能有问题，而且写得特别绕，一点都不简洁。

之前看到过一个结论：当$k$是代数闭域时，所有以$k(X)$为分式域的离散赋值环（DVR）都包含$k$。但这里我产生了一个疑问——如果$k$不是代数闭域的话，是不是就存在不含$k$的DVR，而它的分式域依然是$k(X)$？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者levav ferber tas