二阶变系数微分方程$y_{xx} + \frac{N-1}{x}y_x + e^y=0$（$x>0$）的通解求解咨询
嗨，我看了你这个问题，这个带指数项的二阶变系数微分方程确实有点棘手，先给你梳理几个可能的方向试试：
变量替换简化方程结构：
因为方程里有$\frac{1}{x}$的项，你可以试试做变量替换$t = \ln x$（也就是$x = e^t$），把原方程转化为关于$t$的微分方程：
计算导数：$y_x = \frac{1}{x} y_t$，$y_{xx} = \frac{1}{x^2}(y_{tt} - y_t)$，代入原方程后两边乘$x^2$，会得到：
$$y_{tt} + (N-2)y_t + e^{2t + y} = 0$$
我们可以再做一次变量替换，令$w = y + 2t$，则$y = w - 2t$，求导后代入上面的方程，整理后得到：
$$w_{tt} + (N-2)w_t + e^w = 2(N-2)$$
这样右边变成了常数项，更容易处理。比如我们可以先找它的稳态特解（即$w_t=0$，$w_{tt}=0$），代入得$e^w = 2(N-2)$，也就是$w = \ln[2(N-2)]$，对应回原变量的话，$y = \ln[2(N-2)] - 2\ln x = \ln\left(\frac{2(N-2)}{x^2}\right)$。
你可以代入原方程验证一下，这个特解是完全成立的：把$y = \ln C - 2\ln x$（$C=2(N-2)$）代入，计算得$y' = -2/x$，$y'' = 2/x²$，代入原方程后各项相加刚好为0，而且因为$N≥3$，$C$是正数，完全符合$x>0$的条件。降阶法尝试：
二阶微分方程的降阶思路在这里也可以试试，我们令$p = y'$，把$y''$表示为$p \frac{dp}{dy}$（因为$y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}$），代入原方程得到：
$$p \frac{dp}{dy} + \frac{N-1}{x}p + e^y =0$$
这里还存在$x$，不过我们可以结合变换$v = p x^{N-1}$（也就是$p = v x^{-(N-1)}$），代入原方程后会发现中间的交叉项刚好抵消，简化为：
$$\frac{dv}{dx} = -x^{N-1} e^y$$
再结合$v = x^{N-1} \frac{dy}{dx}$，可以进一步转化为关于$v$和$y$的方程：$v dv = -x^{2(N-1)} e^y dy$，虽然还没完全消去$x$，但结合之前找到的特解，或者做扰动假设（比如解是特解加小扰动），可以继续往下分析。近似解法的思路：
如果不需要严格的闭合解析通解，近似方法也是实用的选择：- 当$x$很大时，$\frac{N-1}{x}y_x$这一项会趋近于0，方程近似为$y'' + e^y =0$，这个方程是可积的，两边乘$y'$积分一次可得$\frac{1}{2}(y')^2 + e^y = C$（$C$为常数），之后可以通过分离变量积分，用初等函数或者椭圆函数来表示解；
- 当$x$趋近于0时，如果$e^y$增长不太快，方程近似为$y'' + \frac{N-1}{x}y' =0$，这是欧拉型方程，通解为$y = C_1 + C_2 x{2-N}$，不过因为$N≥3$，$2-N$是负数，$x→0$时第二项会趋于无穷，这时候需要考虑$ey$的抵消作用，所以这个近似只在$y$为负、$e^y$很小的时候成立。
你提到这类$y''=f(x,y,y')$的方程没有通用解析通解，这个结论是对的，大部分这类方程都找不到闭合形式的通解，但针对这个特定方程，我们能找到特解，也能通过变换得到更易处理的形式，或者用数值方法求解具体的初值/边值问题。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Richard
