识别满足特定条件的张量运算

嘿，让我来拆解一下你描述的这个运算——先明确你给出的核心约束：

• 输入是两个n×n矩阵（你说的n²维度应该指每个矩阵包含n²个元素），输出也是n×n矩阵
• 每个输出元素都用到了两个输入矩阵的所有元素（每个输入元素恰好出现在每个输出元素的一个乘积对里）
• 所有可能的输入元素乘积对（$a_{ij}, b_{kl}$）在整个输出矩阵中只出现一次

先看你给出的2×2例子：输出的每个元素都是4个乘积的和，刚好覆盖A的所有4个元素和B的所有4个元素；整个输出矩阵的4个元素加起来，正好包含了A和B所有4×4=16个可能的乘积对，没有重复。

这种运算本质上是基于拉丁方排列的完美匹配求和矩阵，直白来说就是：

1. 把两个输入矩阵A、B分别展开成长度为n²的列向量vec(A)和vec(B)
2. 构造一组n²个互不重叠的排列（这些排列构成拉丁方，保证所有$(i,j)$乘积对只出现一次），每个排列$\sigma$对应一个“完美匹配”：将vec(A)的第i个元素和vec(B)的第$\sigma(i)$个元素配对
3. 每个排列对应的所有乘积的和，就是输出矩阵的一个元素
4. 最后把这些和重新排列成n×n的矩阵

针对你的2×2例子，这四个排列分别对应：

• 第一个输出元素：$\sigma_1(1)=1, \sigma_1(2)=3, \sigma_1(3)=4, \sigma_1(4)=2$ → 乘积对$(a_{11},b_{11}), (a_{12},b_{21}), (a_{21},b_{22}), (a_{22},b_{12})$
• 第二个输出元素：$\sigma_2(1)=2, \sigma_2(2)=4, \sigma_2(3)=3, \sigma_2(4)=1$ → 乘积对$(a_{11},b_{12}), (a_{12},b_{22}), (a_{21},b_{21}), (a_{22},b_{11})$
• 第三个输出元素：$\sigma_3(1)=4, \sigma_3(2)=2, \sigma_3(3)=1, \sigma_3(4)=3$ → 乘积对$(a_{11},b_{22}), (a_{12},b_{12}), (a_{21},b_{11}), (a_{22},b_{21})$
• 第四个输出元素：$\sigma_4(1)=3, \sigma_4(2)=1, \sigma_4(3)=2, \sigma_4(4)=4$ → 乘积对$(a_{11},b_{21}), (a_{12},b_{11}), (a_{21},b_{12}), (a_{22},b_{22})$

如果要找更正式的名称，这种运算可以归类为张量积的拉丁方划分求和——它本质上是把两个矩阵的张量积（n²×n²的矩阵，每个元素为$a_{ij}b_{kl}$）按照拉丁方规则划分成n²个块，每个块求和后得到输出矩阵的元素。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者amateur