756阶群非单性的Burnside证明

最近有人问起756阶群的非单性证明，W.R. Scott在《Group Theory》第392页的习题13.4.9里把它标成了简单习题，但实际上这个题依赖不少高阶结论。我自己用经典方法——比如合并定理、Sylow定理、Burnside转移定理——再加上Frobenius定理的一个特例（有限群$G$中，若$d$是$|G|$的自然数因子，那么满足$x^d=1$的元素个数必是$d$的倍数），也推导出了证明，但过程实在太长了。

不过Burnside给出了一个更简洁的思路，咱们一步步来梳理：

首先分解群的阶：$|G|=756=2^2 \times 3^3 \times 7$。根据Sylow定理，先看Sylow 7-子群的个数$n_7$：它必须满足$n_7 \equiv 1 \mod 7$且整除$2^2 \times 3^3=108$。108里符合条件的只有1和36。

• 如果$n_7=1$，那这个Sylow 7-子群就是$G$的正规子群，直接得出$G$非单，证明结束。
• 如果$n_7=36$，每个Sylow 7-子群都是7阶循环群，彼此交集只有单位元，所以$G$中共有$36 \times 6=216$个7阶元素。

接下来看Sylow 3-子群的个数$n_3$：它满足$n_3 \equiv1 \mod3$且整除$2^2×7=28$，可能的取值是1、4、28。

• 如果$n_3=1$，Sylow 3-子群正规，$G$非单，直接得证。
• 如果$n_3=4$，考虑$G$在Sylow 3-子群集合上的共轭作用，能得到一个同态$G \to S_4$。因为$G$是单群，同态核要么是平凡群要么是$G$本身，但$|G|=756>24=|S_4|$，所以核不可能是$G$，那核就是$G$的非平凡正规子群，矛盾，因此$n_3≠4$。
• 只剩$n_3=28$的情况，这时候我们用元素计数法找矛盾：
  每个Sylow 3-子群是27阶群，现在看$G$中的3阶元素：每个21阶子群（由Sylow7-子群和一个3阶元素生成）里包含2个3阶元素，而$G$中共有36个这样的21阶子群，所以来自这些子群的3阶元素总数是$36×2=72$个。

现在统计非单位元的总数：7阶元素216个，3阶元素至少72个，加起来是$216+72=288$个，剩下的非单位元数量是$756-1-288=467$个。但这里有个致命矛盾：除了单位元，所有群元素都是成对出现的（$x$和它的逆元$x^{-1}$），所以非单位元的总数必须是偶数，但$756-1=755$是奇数，而288是偶数，$755-288=467$是奇数——奇数个元素不可能两两配对，这就说明我们假设$G$是单群不成立。

综上，不管哪种情况，756阶群都不可能是单群。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Panurge