结构保持映射的像是否为对应范畴中的结构？

你观察到的这个差异特别关键，本质上是不同范畴对「子对象」和「映射像」的定义逻辑不一样，咱们拆开来讲：

• 代数范畴：像天然是子对象
  像Groups、Rings、Ab、R-Mod这类代数范畴里，对象都是带有代数运算的集合，态射（比如群同态、环同态）的核心是保持这些运算。对于这类态射的像，你直接把上域的代数运算限制到像集合上就行——因为态射保持运算，像集合必然对这些运算封闭，自动满足群/环/模的所有公理，而且这个结构是唯一的：只要像集合能成为对应代数结构，就只能是继承自上域的子结构。所以在代数范畴里，态射的像本身就是范畴里的合法对象，不用额外折腾。

• 拓扑范畴Top：像需要指定拓扑
  Top的对象是拓扑空间，态射是连续映射。连续映射的像只是个集合，本身不带拓扑——你得手动给它装拓扑才行。最常用的是子空间拓扑（直接继承上域的拓扑），这时候像就是Top里的子空间，而且原映射到像的限制还是连续态射；但你也可以装别的拓扑，比如平凡拓扑，不过这时候原映射的限制可能就不连续了，不符合范畴态射的要求。说白了，拓扑是附加在集合上的「额外结构」，没法像代数运算那样自然限制到子集上，必须明确指定。

• 微分范畴Diff：像甚至可能不是合法对象
  Diff里的对象是光滑流形，态射是光滑映射。这里的情况更严格：光滑映射的像不一定能成为光滑流形！比如把实数轴通过光滑映射折叠成「8」字形，这个像在交叉点处没法满足流形的局部同胚要求（流形局部得和欧氏空间同胚，交叉点做不到）。就算像能成为流形，也得额外赋予它光滑结构，还要保证原映射的限制是光滑态射，这完全不是自动继承的。

总的来说，代数范畴的结构是「运算规则」，这种规则能自然限制到封闭子集上；而拓扑/微分范畴的结构是「空间结构」，这种结构没法直接通过子集限制自动满足范畴对象的要求，所以需要额外构造或指定。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user815597