关于不等式$|\sup f-\sup g|\le\sup|f-g|$的证明求助

嘿，我来帮你一步步拆解这个不等式的证明思路，其实核心就是紧扣上确界的几个基本性质，完全没你想的那么复杂～

首先明确前提：我们有两个定义在闭区间$[a,b]$上的实值函数 $f, g: [a,b] \to \mathbb{R}$，要证的是
$$|\sup_{x \in [a,b]} f(x) - \sup_{x \in [a,b]} g(x)| \le \sup_{x \in [a,b]} |f(x) - g(x)|$$

第一步：先证$\sup f - \sup g \le \sup|f - g|$ #

对任意$x \in [a,b]$，根据绝对值的三角不等式，我们能得到：
$$f(x) = g(x) + (f(x) - g(x)) \le g(x) + |f(x) - g(x)|$$
这里用上上确界的两个关键性质：

• 若对所有$x \in [a,b]$，$h(x) \le k(x)$，则$\sup h \le \sup k$（上确界的单调性）
• $\sup(h + k) \le \sup h + \sup k$（上确界的次可加性）

对不等式两边取上确界：
$$\sup f = \sup_{x \in [a,b]} f(x) \le \sup_{x \in [a,b]} \left( g(x) + |f(x) - g(x)| \right) \le \sup_{x \in [a,b]} g(x) + \sup_{x \in [a,b]} |f(x) - g(x)|$$
将$\sup g$移到左边，就得到：
$$\sup f - \sup g \le \sup|f - g|$$

第二步：再证$\sup g - \sup f \le \sup|f - g|$ #

这一步和第一步完全对称，只要交换$f$和$g$的位置即可。对任意$x \in [a,b]$：
$$g(x) \le f(x) + |g(x) - f(x)| = f(x) + |f(x) - g(x)|$$
同样用上确界的单调性和次可加性取上确界：
$$\sup g \le \sup f + \sup|f - g|$$
移项后得到：
$$\sup g - \sup f \le \sup|f - g|$$

第三步：结合结论得到最终不等式 #

现在我们有两个核心结果：

• $\sup f - \sup g \le \sup|f - g|$
• $\sup g - \sup f \le \sup|f - g|$（等价于$\sup f - \sup g \ge - \sup|f - g|$）

把这两个式子合并，就有：
$$- \sup|f - g| \le \sup f - \sup g \le \sup|f - g|$$
根据绝对值的定义：一个实数$t$满足$-M \le t \le M$，当且仅当$|t| \le M$。这里令$t = \sup f - \sup g$，$M = \sup|f - g|$，直接就能推出：
$$|\sup f - \sup g| \le \sup|f - g|$$

这样整个证明就完成啦，全程没用到复杂技巧，就是把上确界的定义和性质用透就行～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hashira level