离散时间对称随机游走t时刻第二大概率位置求解

嘿，我来帮你搞定这个随机游走的问题！先把问题的前提再理清楚，确保我们在同一个频道上：

我们有个离散时间的对称随机游走模型：每个时刻 (t \in {0,1,...,n}) 的随机变量 (X_t) 只能取 +1 或 -1，而且取这两个值的概率都是 0.5，完全公平。然后 (Z_t) 是到时刻 (t) 时的位置，也就是从 (X_0) 到 (X_t) 的累加和：
$$Z_t = \sum_{i=0}^{t} X_i$$

你提到了位置近似正态分布，但其实有限步数下它是离散分布，我们先从精确分布入手分析，结果会更准确。

先明确位置的取值规律 #

每一步都是±1，所以经过 (t+1) 步后，位置 (Z_t) 的奇偶性一定和 (t+1) 一致——毕竟奇数个奇数相加是奇数，偶数个相加是偶数。比如t=0时（1步），Z0只能是±1（奇数）；t=1时（2步），Z1只能是2、0、-2（偶数），以此类推，不符合这个奇偶性的位置根本不可能出现，概率为0。

概率分布的核心逻辑 #

假设在 (t+1) 步里，有 (k) 步是+1，剩下的 (t+1 -k) 步是-1，那对应的位置就是：
$$Z_t = k1 + (t+1 -k)(-1) = 2k - (t+1)$$
解这个式子能得到 (k = \frac{Z_t + t + 1}{2})，k必须是整数，这也再次验证了刚才说的奇偶性要求。

对应的概率就是二项分布的概率：
$$P(Z_t = z) = \binom{t+1}{k}*(0.5)^{t+1}$$
二项分布的概率是先增后减的，最大值出现在k最接近 (\frac{t+1}{2}) 的位置，对应到Z_t就是最接近0的、符合奇偶性的位置。

第二大概率位置的结论 #

现在分两种情况讨论：

情况1：t是奇数（总步数t+1是偶数）

总步数是偶数，那k取 (\frac{t+1}{2}) 时，对应的Z_t=0，这是概率最大的位置。
接下来，第二大的概率出现在k取 (\frac{t+1}{2} ±1) 的时候，对应的Z_t就是0±2，也就是**+2和-2**，这两个位置的概率完全相等，都是第二大的。

举个例子：t=1（2步），Z1的概率分布是P(2)=1/4，P(0)=2/4，P(-2)=1/4，显然0是最大，±2是第二大。

情况2：t是偶数（总步数t+1是奇数）

总步数是奇数，k取 (\frac{t+2}{2}) 和 (\frac{t}{2}) 时，对应的Z_t=1和-1，这两个位置的概率相等，都是最大的。
接下来，第二大的概率出现在k取 (\frac{t+2}{2}+1) 和 (\frac{t}{2}-1) 的时候，对应的Z_t就是1+2=3和-1-2=-3，也就是**+3和-3**，这两个位置概率相等，是第二大的。

举个例子：t=2（3步），Z2的概率分布是P(3)=1/8，P(1)=3/8，P(-1)=3/8，P(-3)=1/8，±1是最大，±3是第二大。

特殊情况：t=0

这时候总步数是1，Z0只能是+1和-1，概率都是0.5，没有“第二大”的位置——因为两个位置的概率完全相同，都是最大值。

结合正态近似验证 #

你提到的正态近似，其实和我们的结论一致：Z_t的均值是0，方差是t+1，正态分布的密度在均值处最大，向两边递减，离均值越近概率越高，而离散分布里因为奇偶性限制，我们只能取符合条件的位置，所以第二大的位置就是离均值最近的下一组对称位置，和精确分析的结果完全匹配。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者konofoso