请求推导仅含奇数项的1/n⁴无穷级数的和

嗨，这其实是个利用黎曼ζ函数拆分奇偶项的经典问题，我来给你一步步理清楚推导过程：

首先，咱们先明确你要求的级数 ( S ) 的本质：你的序列 ( a_n ) 是偶数项为0，奇数项为 ( \frac{1}{n^4} )，所以：
$$
S = \sum_{n=1}^{\infty}a_n = \sum_{\substack{n=1 \ n \text{ 为奇数}}}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^4}
$$

接下来，咱们用到已知的黎曼ζ函数定义：对于 ( s=4 )，有
$$
\zeta(4) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}
$$
这个无穷级数可以拆分成奇数项的和加上偶数项的和，也就是：
$$
\zeta(4) = S + \sum_{\substack{n=1 \ n \text{ 为偶数}}}^{\infty} \frac{1}{n^4}
$$

现在单独计算偶数项的和：把偶数 ( n ) 写成 ( n=2k )（其中 ( k ) 从1到∞），代入后得到：
$$
\sum_{\substack{n=1 \ n \text{ 为偶数}}}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^4} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^4 \cdot k^4} = \frac{1}{16} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^4} = \frac{1}{16}\zeta(4)
$$

把这个结果代回ζ(4)的拆分式里：
$$
\zeta(4) = S + \frac{1}{16}\zeta(4)
$$

现在只需要解这个方程求 ( S )：
$$
S = \zeta(4) - \frac{1}{16}\zeta(4) = \left(1 - \frac{1}{16}\right)\zeta(4) = \frac{15}{16}\zeta(4)
$$

最后代入已知的 ( \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90} )：
$$
S = \frac{15}{16} \times \frac{\pi^4}{90} = \frac{\pi^4}{16 \times 6} = \frac{\pi^4}{96}
$$

这样就得到了你假设的结果啦，是不是很清晰？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hendrra